Rezolvați 25y^2+10y+1=0

$$25 y ^ { 2 } + 10 y + 1 = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 25y^{2}+ay+by+1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=10 ab=25\times 1=25$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 25.

$$1,25 5,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+25=26 5+5=10$$

Soluția este perechea care dă suma de 10.

$$a=5 b=5$$

Rescrieți 25y^{2}+10y+1 ca \left(25y^{2}+5y\right)+\left(5y+1\right).

$$\left(25y^{2}+5y\right)+\left(5y+1\right)$$

Scoateți factorul comun 5y din 25y^{2}+5y.

$$5y\left(5y+1\right)+5y+1$$

Scoateți termenul comun 5y+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5y+1\right)\left(5y+1\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(5y+1\right)^{2}$$

Pentru a găsi soluția ecuației, rezolvați 5y+1=0.

$$y=-\frac{1}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$25y^{2}+10y+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 25, b cu 10 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 25}}{2\times 25}$$

Ridicați 10 la pătrat.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 25}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -4 cu 25.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100-100}}{2\times 25}$$

Adunați 100 cu -100.

$$y=\frac{-10±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$y=-\frac{10}{2\times 25}$$

Înmulțiți 2 cu 25.

$$y=-\frac{10}{50}$$

Reduceți fracția \frac{-10}{50} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$y=-\frac{1}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$25y^{2}+10y+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$25y^{2}+10y+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$25y^{2}+10y=-1$$

Se împart ambele părți la 25.

$$\frac{25y^{2}+10y}{25}=-\frac{1}{25}$$

Împărțirea la 25 anulează înmulțirea cu 25.

$$y^{2}+\frac{10}{25}y=-\frac{1}{25}$$

Reduceți fracția \frac{10}{25} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$y^{2}+\frac{2}{5}y=-\frac{1}{25}$$

Împărțiți \frac{2}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{5}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}+\frac{2}{5}y+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{25}+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}+\frac{2}{5}y+\frac{1}{25}=\frac{-1+1}{25}$$

Adunați -\frac{1}{25} cu \frac{1}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}+\frac{2}{5}y+\frac{1}{25}=0$$

Factor y^{2}+\frac{2}{5}y+\frac{1}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{5}\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$y+\frac{1}{5}=0 y+\frac{1}{5}=0$$

Scădeți \frac{1}{5} din ambele părți ale ecuației.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$y=-\frac{1}{5}$$