Rezolvați 25x^2-10x-x^2-25=0

$$25 x ^ { 2 } - 10 x - x ^ { 2 } - 25 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0,833333333$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Combinați 25x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 24x^{2}+ax+bx-25. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-10 ab=24\left(-25\right)=-600$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -600.

$$1,-600 2,-300 3,-200 4,-150 5,-120 6,-100 8,-75 10,-60 12,-50 15,-40 20,-30 24,-25$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-600=-599 2-300=-298 3-200=-197 4-150=-146 5-120=-115 6-100=-94 8-75=-67 10-60=-50 12-50=-38 15-40=-25 20-30=-10 24-25=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -10.

$$a=-30 b=20$$

Rescrieți 24x^{2}-10x-25 ca \left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right).

$$\left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right)$$

Factor 6x în primul și 5 în al doilea grup.

$$6x\left(4x-5\right)+5\left(4x-5\right)$$

Scoateți termenul comun 4x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4x-5\right)\left(6x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 4x-5=0 și 6x+5=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Combinați 25x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 24, b cu -10 și c cu -25 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Ridicați -10 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Înmulțiți -4 cu 24.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-96\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Înmulțiți -96 cu -25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+2400}}{2\times 24}$$

Adunați 100 cu 2400.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{2500}}{2\times 24}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2500.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±50}{2\times 24}$$

Opusul lui -10 este 10.

$$x=\frac{10±50}{2\times 24}$$

Înmulțiți 2 cu 24.

$$x=\frac{10±50}{48}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{10±50}{48} atunci când ± este plus. Adunați 10 cu 50.

$$x=\frac{60}{48}$$

Reduceți fracția \frac{60}{48} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 12.

$$x=\frac{5}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{10±50}{48} atunci când ± este minus. Scădeți 50 din 10.

$$x=-\frac{40}{48}$$

Reduceți fracția \frac{-40}{48} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Pași pentru completarea pătratului

Combinați 25x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Adăugați 25 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$24x^{2}-10x=25$$

Se împart ambele părți la 24.

$$\frac{24x^{2}-10x}{24}=\frac{25}{24}$$

Împărțirea la 24 anulează înmulțirea cu 24.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{24}\right)x=\frac{25}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-10}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{25}{24}$$

Împărțiți -\frac{5}{12}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{24}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{24} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{25}{24}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{24} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{25}{24}+\frac{25}{576}$$

Adunați \frac{25}{24} cu \frac{25}{576} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{625}{576}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{25}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{25}{24}$$

Adunați \frac{5}{24} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$