Rezolvați 25x^2+30x+9=0

$$25 { x }^{ 2 } +30x+9=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 25x^{2}+ax+bx+9. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=30 ab=25\times 9=225$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 225.

$$1,225 3,75 5,45 9,25 15,15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+225=226 3+75=78 5+45=50 9+25=34 15+15=30$$

Soluția este perechea care dă suma de 30.

$$a=15 b=15$$

Rescrieți 25x^{2}+30x+9 ca \left(25x^{2}+15x\right)+\left(15x+9\right).

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(15x+9\right)$$

Factor 5x în primul și 3 în al doilea grup.

$$5x\left(5x+3\right)+3\left(5x+3\right)$$

Scoateți termenul comun 5x+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5x+3\right)\left(5x+3\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(5x+3\right)^{2}$$

Pentru a găsi soluția ecuației, rezolvați 5x+3=0.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$25x^{2}+30x+9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 25, b cu 30 și c cu 9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Ridicați 30 la pătrat.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -4 cu 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-100\times 9}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -100 cu 9.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-900}}{2\times 25}$$

Adunați 900 cu -900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=-\frac{30}{2\times 25}$$

Înmulțiți 2 cu 25.

$$x=-\frac{30}{50}$$

Reduceți fracția \frac{-30}{50} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+30x+9=0$$

Scădeți 9 din ambele părți ale ecuației.

$$25x^{2}+30x+9-9=-9$$

Scăderea 9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$25x^{2}+30x=-9$$

Se împart ambele părți la 25.

$$\frac{25x^{2}+30x}{25}=-\frac{9}{25}$$

Împărțirea la 25 anulează înmulțirea cu 25.

$$x^{2}+\frac{30}{25}x=-\frac{9}{25}$$

Reduceți fracția \frac{30}{25} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{9}{25}$$

Împărțiți \frac{6}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{5}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{9}{25}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{-9+9}{25}$$

Adunați -\frac{9}{25} cu \frac{9}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=0$$

Factor x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{5}=0 x+\frac{3}{5}=0$$

Scădeți \frac{3}{5} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{3}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$x=-\frac{3}{5}$$