Rezolvați 24x^2+38x+15

$$24 x ^ { 2 } + 38 x + 15$$

Descompunere în factori

$$\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 24x^{2}+ax+bx+15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=38 ab=24\times 15=360$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 360.

$$1,360 2,180 3,120 4,90 5,72 6,60 8,45 9,40 10,36 12,30 15,24 18,20$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+360=361 2+180=182 3+120=123 4+90=94 5+72=77 6+60=66 8+45=53 9+40=49 10+36=46 12+30=42 15+24=39 18+20=38$$

Soluția este perechea care dă suma de 38.

$$a=18 b=20$$

Rescrieți 24x^{2}+38x+15 ca \left(24x^{2}+18x\right)+\left(20x+15\right).

$$\left(24x^{2}+18x\right)+\left(20x+15\right)$$

Factor 6x în primul și 5 în al doilea grup.

$$6x\left(4x+3\right)+5\left(4x+3\right)$$

Scoateți termenul comun 4x+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}+38x+15=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-38±\sqrt{38^{2}-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Ridicați 38 la pătrat.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Înmulțiți -4 cu 24.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-96\times 15}}{2\times 24}$$

Înmulțiți -96 cu 15.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-1440}}{2\times 24}$$

Adunați 1444 cu -1440.

$$x=\frac{-38±\sqrt{4}}{2\times 24}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4.

$$x=\frac{-38±2}{2\times 24}$$

Înmulțiți 2 cu 24.

$$x=\frac{-38±2}{48}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-38±2}{48} atunci când ± este plus. Adunați -38 cu 2.

$$x=-\frac{36}{48}$$

Reduceți fracția \frac{-36}{48} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 12.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-38±2}{48} atunci când ± este minus. Scădeți 2 din -38.

$$x=-\frac{40}{48}$$

Reduceți fracția \frac{-40}{48} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{3}{4} și x_{2} cu -\frac{5}{6}.

$$24x^{2}+38x+15=24\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{6}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$24x^{2}+38x+15=24\left(x+\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{5}{6}\right)$$

Adunați \frac{3}{4} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{4x+3}{4}\left(x+\frac{5}{6}\right)$$

Adunați \frac{5}{6} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{4x+3}{4}\times \frac{6x+5}{6}$$

Înmulțiți \frac{4x+3}{4} cu \frac{6x+5}{6} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)}{4\times 6}$$

Înmulțiți 4 cu 6.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)}{24}$$

Simplificați cu 24, cel mai mare factor comun din 24 și 24.

$$24x^{2}+38x+15=\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$

Evaluați

$$\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$