Rezolvați 24w^2-23w-630

$$24 w ^ { 2 } - 23 w - 630$$

Descompunere în factori

$$\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 24w^{2}+aw+bw-630. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-23 ab=24\left(-630\right)=-15120$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -15120.

$$1,-15120 2,-7560 3,-5040 4,-3780 5,-3024 6,-2520 7,-2160 8,-1890 9,-1680 10,-1512 12,-1260 14,-1080 15,-1008 16,-945 18,-840 20,-756 21,-720 24,-630 27,-560 28,-540 30,-504 35,-432 36,-420 40,-378 42,-360 45,-336 48,-315 54,-280 56,-270 60,-252 63,-240 70,-216 72,-210 80,-189 84,-180 90,-168 105,-144 108,-140 112,-135 120,-126$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-15120=-15119 2-7560=-7558 3-5040=-5037 4-3780=-3776 5-3024=-3019 6-2520=-2514 7-2160=-2153 8-1890=-1882 9-1680=-1671 10-1512=-1502 12-1260=-1248 14-1080=-1066 15-1008=-993 16-945=-929 18-840=-822 20-756=-736 21-720=-699 24-630=-606 27-560=-533 28-540=-512 30-504=-474 35-432=-397 36-420=-384 40-378=-338 42-360=-318 45-336=-291 48-315=-267 54-280=-226 56-270=-214 60-252=-192 63-240=-177 70-216=-146 72-210=-138 80-189=-109 84-180=-96 90-168=-78 105-144=-39 108-140=-32 112-135=-23 120-126=-6$$

Soluția este perechea care dă suma de -23.

$$a=-135 b=112$$

Rescrieți 24w^{2}-23w-630 ca \left(24w^{2}-135w\right)+\left(112w-630\right).

$$\left(24w^{2}-135w\right)+\left(112w-630\right)$$

Factor 3w în primul și 14 în al doilea grup.

$$3w\left(8w-45\right)+14\left(8w-45\right)$$

Scoateți termenul comun 8w-45 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$24w^{2}-23w-630=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 24\left(-630\right)}}{2\times 24}$$

Ridicați -23 la pătrat.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 24\left(-630\right)}}{2\times 24}$$

Înmulțiți -4 cu 24.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-96\left(-630\right)}}{2\times 24}$$

Înmulțiți -96 cu -630.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529+60480}}{2\times 24}$$

Adunați 529 cu 60480.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{61009}}{2\times 24}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 61009.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±247}{2\times 24}$$

Opusul lui -23 este 23.

$$w=\frac{23±247}{2\times 24}$$

Înmulțiți 2 cu 24.

$$w=\frac{23±247}{48}$$

Acum rezolvați ecuația w=\frac{23±247}{48} atunci când ± este plus. Adunați 23 cu 247.

$$w=\frac{270}{48}$$

Reduceți fracția \frac{270}{48} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$w=\frac{45}{8}$$

Acum rezolvați ecuația w=\frac{23±247}{48} atunci când ± este minus. Scădeți 247 din 23.

$$w=-\frac{224}{48}$$

Reduceți fracția \frac{-224}{48} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 16.

$$w=-\frac{14}{3}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{45}{8} și x_{2} cu -\frac{14}{3}.

$$24w^{2}-23w-630=24\left(w-\frac{45}{8}\right)\left(w-\left(-\frac{14}{3}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$24w^{2}-23w-630=24\left(w-\frac{45}{8}\right)\left(w+\frac{14}{3}\right)$$

Scădeți \frac{45}{8} din w găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$24w^{2}-23w-630=24\times \frac{8w-45}{8}\left(w+\frac{14}{3}\right)$$

Adunați \frac{14}{3} cu w găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$24w^{2}-23w-630=24\times \frac{8w-45}{8}\times \frac{3w+14}{3}$$

Înmulțiți \frac{8w-45}{8} cu \frac{3w+14}{3} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$24w^{2}-23w-630=24\times \frac{\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)}{8\times 3}$$

Înmulțiți 8 cu 3.

$$24w^{2}-23w-630=24\times \frac{\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)}{24}$$

Simplificați cu 24, cel mai mare factor comun din 24 și 24.

$$24w^{2}-23w-630=\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)$$

Evaluați

$$\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)$$