Rezolvați 24x^2+46x+24=0

$$24 { x }^{ 2 } +46x+24=0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-23+\sqrt{47}i}{24}\approx -0,958333333+0,285652275i$$

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-23}{24}\approx -0,958333333-0,285652275i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$24x^{2}+46x+24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 24, b cu 46 și c cu 24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-46±\sqrt{46^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Ridicați 46 la pătrat.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Înmulțiți -4 cu 24.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-96\times 24}}{2\times 24}$$

Înmulțiți -96 cu 24.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-2304}}{2\times 24}$$

Adunați 2116 cu -2304.

$$x=\frac{-46±\sqrt{-188}}{2\times 24}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -188.

$$x=\frac{-46±2\sqrt{47}i}{2\times 24}$$

Înmulțiți 2 cu 24.

$$x=\frac{-46±2\sqrt{47}i}{48}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-46±2\sqrt{47}i}{48} atunci când ± este plus. Adunați -46 cu 2i\sqrt{47}.

$$x=\frac{-46+2\sqrt{47}i}{48}$$

Împărțiți -46+2i\sqrt{47} la 48.

$$x=\frac{-23+\sqrt{47}i}{24}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-46±2\sqrt{47}i}{48} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{47} din -46.

$$x=\frac{-2\sqrt{47}i-46}{48}$$

Împărțiți -46-2i\sqrt{47} la 48.

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-23}{24}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-23+\sqrt{47}i}{24} x=\frac{-\sqrt{47}i-23}{24}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}+46x+24=0$$

Scădeți 24 din ambele părți ale ecuației.

$$24x^{2}+46x+24-24=-24$$

Scăderea 24 din el însuși are ca rezultat 0.

$$24x^{2}+46x=-24$$

Se împart ambele părți la 24.

$$\frac{24x^{2}+46x}{24}=-\frac{24}{24}$$

Împărțirea la 24 anulează înmulțirea cu 24.

$$x^{2}+\frac{46}{24}x=-\frac{24}{24}$$

Reduceți fracția \frac{46}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{23}{12}x=-\frac{24}{24}$$

Împărțiți -24 la 24.

$$x^{2}+\frac{23}{12}x=-1$$

Împărțiți \frac{23}{12}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{23}{24}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{23}{24} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{23}{12}x+\left(\frac{23}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{23}{24}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{23}{24} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{23}{12}x+\frac{529}{576}=-1+\frac{529}{576}$$

Adunați -1 cu \frac{529}{576}.

$$x^{2}+\frac{23}{12}x+\frac{529}{576}=-\frac{47}{576}$$

Factor x^{2}+\frac{23}{12}x+\frac{529}{576}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{23}{24}\right)^{2}=-\frac{47}{576}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{24}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{47}{576}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{23}{24}=\frac{\sqrt{47}i}{24} x+\frac{23}{24}=-\frac{\sqrt{47}i}{24}$$

Scădeți \frac{23}{24} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-23+\sqrt{47}i}{24} x=\frac{-\sqrt{47}i-23}{24}$$