Rezolvați 24x^2+10x-21

$$24 { x }^{ 2 } +10x-21$$

Descompunere în factori

$$\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 24x^{2}+ax+bx-21. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=10 ab=24\left(-21\right)=-504$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -504.

$$-1,504 -2,252 -3,168 -4,126 -6,84 -7,72 -8,63 -9,56 -12,42 -14,36 -18,28 -21,24$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+504=503 -2+252=250 -3+168=165 -4+126=122 -6+84=78 -7+72=65 -8+63=55 -9+56=47 -12+42=30 -14+36=22 -18+28=10 -21+24=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 10.

$$a=-18 b=28$$

Rescrieți 24x^{2}+10x-21 ca \left(24x^{2}-18x\right)+\left(28x-21\right).

$$\left(24x^{2}-18x\right)+\left(28x-21\right)$$

Factor 6x în primul și 7 în al doilea grup.

$$6x\left(4x-3\right)+7\left(4x-3\right)$$

Scoateți termenul comun 4x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}+10x-21=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 24\left(-21\right)}}{2\times 24}$$

Ridicați 10 la pătrat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 24\left(-21\right)}}{2\times 24}$$

Înmulțiți -4 cu 24.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-96\left(-21\right)}}{2\times 24}$$

Înmulțiți -96 cu -21.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+2016}}{2\times 24}$$

Adunați 100 cu 2016.

$$x=\frac{-10±\sqrt{2116}}{2\times 24}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2116.

$$x=\frac{-10±46}{2\times 24}$$

Înmulțiți 2 cu 24.

$$x=\frac{-10±46}{48}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-10±46}{48} atunci când ± este plus. Adunați -10 cu 46.

$$x=\frac{36}{48}$$

Reduceți fracția \frac{36}{48} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 12.

$$x=\frac{3}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-10±46}{48} atunci când ± este minus. Scădeți 46 din -10.

$$x=-\frac{56}{48}$$

Reduceți fracția \frac{-56}{48} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=-\frac{7}{6}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{3}{4} și x_{2} cu -\frac{7}{6}.

$$24x^{2}+10x-21=24\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{7}{6}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$24x^{2}+10x-21=24\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{7}{6}\right)$$

Scădeți \frac{3}{4} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{7}{6}\right)$$

Adunați \frac{7}{6} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{6x+7}{6}$$

Înmulțiți \frac{4x-3}{4} cu \frac{6x+7}{6} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)}{4\times 6}$$

Înmulțiți 4 cu 6.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)}{24}$$

Simplificați cu 24, cel mai mare factor comun din 24 și 24.

$$24x^{2}+10x-21=\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$

Evaluați

$$\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$