Rezolvați 24k^2+50k+24=0

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

Rezolvați pentru k

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0,75$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 2.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 12k^{2}+ak+bk+12. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Soluția este perechea care dă suma de 25.

$$a=9 b=16$$

Rescrieți 12k^{2}+25k+12 ca \left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right).

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

Factor 3k în primul și 4 în al doilea grup.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

Scoateți termenul comun 4k+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 4k+3=0 și 3k+4=0.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 24, b cu 50 și c cu 24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Ridicați 50 la pătrat.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Înmulțiți -4 cu 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

Înmulțiți -96 cu 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

Adunați 2500 cu -2304.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 196.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

Înmulțiți 2 cu 24.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{-50±14}{48} atunci când ± este plus. Adunați -50 cu 14.

$$k=-\frac{36}{48}$$

Reduceți fracția \frac{-36}{48} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 12.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{-50±14}{48} atunci când ± este minus. Scădeți 14 din -50.

$$k=-\frac{64}{48}$$

Reduceți fracția \frac{-64}{48} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 16.

$$k=-\frac{4}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Scădeți 24 din ambele părți ale ecuației.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

Scăderea 24 din el însuși are ca rezultat 0.

$$24k^{2}+50k=-24$$

Se împart ambele părți la 24.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

Împărțirea la 24 anulează înmulțirea cu 24.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

Reduceți fracția \frac{50}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

Împărțiți -24 la 24.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

Împărțiți \frac{25}{12}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{25}{24}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{25}{24} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{25}{24} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

Adunați -1 cu \frac{625}{576}.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

Factor k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Simplificați.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

Scădeți \frac{25}{24} din ambele părți ale ecuației.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$