Rezolvați 24+3x-2x^2=13

$$24 + 3 x - 2 x ^ { 2 } = 13$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{97} + 3}{4} \approx 3,21221445$$

$$x=\frac{3-\sqrt{97}}{4}\approx -1,71221445$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-2x^{2}+3x+24=13$$

Scădeți 13 din ambele părți ale ecuației.

$$-2x^{2}+3x+24-13=13-13$$

Scăderea 13 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-2x^{2}+3x+24-13=0$$

Scădeți 13 din 24.

$$-2x^{2}+3x+11=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -2, b cu 3 și c cu 11 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-2\right)\times 11}}{2\left(-2\right)}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-2\right)\times 11}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+8\times 11}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 8 cu 11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+88}}{2\left(-2\right)}$$

Adunați 9 cu 88.

$$x=\frac{-3±\sqrt{97}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{97}}{-4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±\sqrt{97}}{-4} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu \sqrt{97}.

$$x=\frac{\sqrt{97}-3}{-4}$$

Împărțiți -3+\sqrt{97} la -4.

$$x=\frac{3-\sqrt{97}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±\sqrt{97}}{-4} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{97} din -3.

$$x=\frac{-\sqrt{97}-3}{-4}$$

Împărțiți -3-\sqrt{97} la -4.

$$x=\frac{\sqrt{97}+3}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3-\sqrt{97}}{4} x=\frac{\sqrt{97}+3}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+3x+24=13$$

Scădeți 24 din ambele părți ale ecuației.

$$-2x^{2}+3x+24-24=13-24$$

Scăderea 24 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-2x^{2}+3x=13-24$$

Scădeți 24 din 13.

$$-2x^{2}+3x=-11$$

Se împart ambele părți la -2.

$$\frac{-2x^{2}+3x}{-2}=-\frac{11}{-2}$$

Împărțirea la -2 anulează înmulțirea cu -2.

$$x^{2}+\frac{3}{-2}x=-\frac{11}{-2}$$

Împărțiți 3 la -2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{11}{-2}$$

Împărțiți -11 la -2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{11}{2}$$

Împărțiți -\frac{3}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{11}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{11}{2}+\frac{9}{16}$$

Adunați \frac{11}{2} cu \frac{9}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{97}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{97}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{97}}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{97}}{4}$$

Adunați \frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{97}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{97}}{4}$$