Rezolvați 2019x^2=2020+[x]

$$2019 x ^ { 2 } = 2020 + [ x ]$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

$$x = \frac{2020}{2019} = 1\frac{1}{2019} \approx 1,000495295$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 2020 din ambele părți.

$$2019x^{2}-2020=x$$

Scădeți x din ambele părți.

$$2019x^{2}-2020-x=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$2019x^{2}-x-2020=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2019x^{2}+ax+bx-2020. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=2019\left(-2020\right)=-4078380$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -4078380.

$$1,-4078380 2,-2039190 3,-1359460 4,-1019595 5,-815676 6,-679730 10,-407838 12,-339865 15,-271892 20,-203919 30,-135946 60,-67973 101,-40380 202,-20190 303,-13460 404,-10095 505,-8076 606,-6730 673,-6060 1010,-4038 1212,-3365 1346,-3030 1515,-2692 2019,-2020$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-4078380=-4078379 2-2039190=-2039188 3-1359460=-1359457 4-1019595=-1019591 5-815676=-815671 6-679730=-679724 10-407838=-407828 12-339865=-339853 15-271892=-271877 20-203919=-203899 30-135946=-135916 60-67973=-67913 101-40380=-40279 202-20190=-19988 303-13460=-13157 404-10095=-9691 505-8076=-7571 606-6730=-6124 673-6060=-5387 1010-4038=-3028 1212-3365=-2153 1346-3030=-1684 1515-2692=-1177 2019-2020=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-2020 b=2019$$

Rescrieți 2019x^{2}-x-2020 ca \left(2019x^{2}-2020x\right)+\left(2019x-2020\right).

$$\left(2019x^{2}-2020x\right)+\left(2019x-2020\right)$$

Scoateți factorul comun x din 2019x^{2}-2020x.

$$x\left(2019x-2020\right)+2019x-2020$$

Scoateți termenul comun 2019x-2020 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2019x-2020\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2019x-2020=0 și x+1=0.

$$x=\frac{2020}{2019} x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 2020 din ambele părți.

$$2019x^{2}-2020=x$$

Scădeți x din ambele părți.

$$2019x^{2}-2020-x=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2019x^{2}-x-2020=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2019, b cu -1 și c cu -2020 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2019\left(-2020\right)}}{2\times 2019}$$

Înmulțiți -4 cu 2019.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8076\left(-2020\right)}}{2\times 2019}$$

Înmulțiți -8076 cu -2020.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+16313520}}{2\times 2019}$$

Adunați 1 cu 16313520.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{16313521}}{2\times 2019}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16313521.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±4039}{2\times 2019}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±4039}{2\times 2019}$$

Înmulțiți 2 cu 2019.

$$x=\frac{1±4039}{4038}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±4039}{4038} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 4039.

$$x=\frac{4040}{4038}$$

Reduceți fracția \frac{4040}{4038} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{2020}{2019}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±4039}{4038} atunci când ± este minus. Scădeți 4039 din 1.

$$x=-\frac{4038}{4038}$$

Împărțiți -4038 la 4038.

$$x=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{2020}{2019} x=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți x din ambele părți.

$$2019x^{2}-x=2020$$

Se împart ambele părți la 2019.

$$\frac{2019x^{2}-x}{2019}=\frac{2020}{2019}$$

Împărțirea la 2019 anulează înmulțirea cu 2019.

$$x^{2}-\frac{1}{2019}x=\frac{2020}{2019}$$

Împărțiți -\frac{1}{2019}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{4038}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{4038} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{2019}x+\left(-\frac{1}{4038}\right)^{2}=\frac{2020}{2019}+\left(-\frac{1}{4038}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{4038} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{2019}x+\frac{1}{16305444}=\frac{2020}{2019}+\frac{1}{16305444}$$

Adunați \frac{2020}{2019} cu \frac{1}{16305444} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{2019}x+\frac{1}{16305444}=\frac{16313521}{16305444}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{2019}x+\frac{1}{16305444}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4038}\right)^{2}=\frac{16313521}{16305444}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4038}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16313521}{16305444}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{4038}=\frac{4039}{4038} x-\frac{1}{4038}=-\frac{4039}{4038}$$

Adunați \frac{1}{4038} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2020}{2019} x=-1$$