Rezolvați 20y^2+y-1

$$20 y ^ { 2 } + y - 1$$

Descompunere în factori

$$\left(5y-1\right)\left(4y+1\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 20y^{2}+ay+by-1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-4 b=5$$

Rescrieți 20y^{2}+y-1 ca \left(20y^{2}-4y\right)+\left(5y-1\right).

$$\left(20y^{2}-4y\right)+\left(5y-1\right)$$

Scoateți factorul comun 4y din 20y^{2}-4y.

$$4y\left(5y-1\right)+5y-1$$

Scoateți termenul comun 5y-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5y-1\right)\left(4y+1\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$20y^{2}+y-1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Înmulțiți -4 cu 20.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Înmulțiți -80 cu -1.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Adunați 1 cu 80.

$$y=\frac{-1±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 81.

$$y=\frac{-1±9}{2\times 20}$$

Înmulțiți 2 cu 20.

$$y=\frac{-1±9}{40}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-1±9}{40} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 9.

$$y=\frac{8}{40}$$

Reduceți fracția \frac{8}{40} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$y=\frac{1}{5}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-1±9}{40} atunci când ± este minus. Scădeți 9 din -1.

$$y=-\frac{10}{40}$$

Reduceți fracția \frac{-10}{40} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$y=-\frac{1}{4}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{1}{5} și x_{2} cu -\frac{1}{4}.

$$20y^{2}+y-1=20\left(y-\frac{1}{5}\right)\left(y-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$20y^{2}+y-1=20\left(y-\frac{1}{5}\right)\left(y+\frac{1}{4}\right)$$

Scădeți \frac{1}{5} din y găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$20y^{2}+y-1=20\times \frac{5y-1}{5}\left(y+\frac{1}{4}\right)$$

Adunați \frac{1}{4} cu y găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$20y^{2}+y-1=20\times \frac{5y-1}{5}\times \frac{4y+1}{4}$$

Înmulțiți \frac{5y-1}{5} cu \frac{4y+1}{4} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$20y^{2}+y-1=20\times \frac{\left(5y-1\right)\left(4y+1\right)}{5\times 4}$$

Înmulțiți 5 cu 4.

$$20y^{2}+y-1=20\times \frac{\left(5y-1\right)\left(4y+1\right)}{20}$$

Simplificați cu 20, cel mai mare factor comun din 20 și 20.

$$20y^{2}+y-1=\left(5y-1\right)\left(4y+1\right)$$

Evaluați

$$20y^{2}+y-1$$