Rezolvați 2y^2+y-5=0

$$2 y ^ { 2 } + y - 5 = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y = \frac{\sqrt{41} - 1}{4} \approx 1,350781059$$

$$y=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}\approx -1,850781059$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2y^{2}+y-5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 1 și c cu -5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -5.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+40}}{2\times 2}$$

Adunați 1 cu 40.

$$y=\frac{-1±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$y=\frac{-1±\sqrt{41}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-1±\sqrt{41}}{4} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu \sqrt{41}.

$$y=\frac{\sqrt{41}-1}{4}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-1±\sqrt{41}}{4} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{41} din -1.

$$y=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=\frac{\sqrt{41}-1}{4} y=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2y^{2}+y-5=0$$

Adunați 5 la ambele părți ale ecuației.

$$2y^{2}+y-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Scăderea -5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2y^{2}+y=-\left(-5\right)$$

Scădeți -5 din 0.

$$2y^{2}+y=5$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2y^{2}+y}{2}=\frac{5}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

Împărțiți \frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{5}{2}+\frac{1}{16}$$

Adunați \frac{5}{2} cu \frac{1}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{41}{16}$$

Factor y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{41}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{16}}$$

Simplificați.

$$y+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4} y+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$$

Scădeți \frac{1}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$y=\frac{\sqrt{41}-1}{4} y=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$