Rezolvați 2y^2+y-21=0

$$2 y ^ { 2 } + y - 21 = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$y=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2y^{2}+ay+by-21. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=2\left(-21\right)=-42$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-6 b=7$$

Rescrieți 2y^{2}+y-21 ca \left(2y^{2}-6y\right)+\left(7y-21\right).

$$\left(2y^{2}-6y\right)+\left(7y-21\right)$$

Factor 2y în primul și 7 în al doilea grup.

$$2y\left(y-3\right)+7\left(y-3\right)$$

Scoateți termenul comun y-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(y-3\right)\left(2y+7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați y-3=0 și 2y+7=0.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2y^{2}+y-21=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 1 și c cu -21 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -21.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2\times 2}$$

Adunați 1 cu 168.

$$y=\frac{-1±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$y=\frac{-1±13}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$y=\frac{-1±13}{4}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-1±13}{4} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 13.

$$y=\frac{12}{4}$$

Împărțiți 12 la 4.

$$y=3$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-1±13}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din -1.

$$y=-\frac{14}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-14}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2y^{2}+y-21=0$$

Adunați 21 la ambele părți ale ecuației.

$$2y^{2}+y-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Scăderea -21 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2y^{2}+y=-\left(-21\right)$$

Scădeți -21 din 0.

$$2y^{2}+y=21$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2y^{2}+y}{2}=\frac{21}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y=\frac{21}{2}$$

Împărțiți \frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{21}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{21}{2}+\frac{1}{16}$$

Adunați \frac{21}{2} cu \frac{1}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{169}{16}$$

Factor y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Simplificați.

$$y+\frac{1}{4}=\frac{13}{4} y+\frac{1}{4}=-\frac{13}{4}$$

Scădeți \frac{1}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$