Rezolvați 2x^4-5x^3+4x^2-5x+2

$$2 x ^ { 4 } - 5 x ^ { 3 } + 4 x ^ { 2 } - 5 x + 2$$

Descompunere în factori

$$\left(x-2\right)\left(2x-1\right)\left(x^{2}+1\right)$$

Pașii soluției

Pentru a factor expresia, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$2x^{4}-5x^{3}+4x^{2}-5x+2=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 2 și q împarte coeficientul inițial 2. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±1,±2,±\frac{1}{2}$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=2$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți 2x^{4}-5x^{3}+4x^{2}-5x+2 la x-2 pentru a obține 2x^{3}-x^{2}+2x-1. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$2x^{3}-x^{2}+2x-1=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -1 și q împarte coeficientul inițial 2. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{2},±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=\frac{1}{2}$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți 2x^{3}-x^{2}+2x-1 la 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 pentru a obține x^{2}+1. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$x^{2}+1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu 0 și c cu 1.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4}}{2}$$

Polinomul x^{2}+1 nu este descompus în factori, pentru că nu are rădăcini raționale.

$$x^{2}+1$$

Rescrieți expresia descompusă în factori utilizând rădăcinile obținute.

$$\left(x-2\right)\left(2x-1\right)\left(x^{2}+1\right)$$

Evaluați

$$\left(x-2\right)\left(2x-1\right)\left(x^{2}+1\right)$$