Rezolvați 2x^2-7x-9<0

$$2 x ^ { 2 } - 7 x - 9 < 0$$

Rezolvați pentru x

$$x\in \left(-1,\frac{9}{2}\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-7x-9=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 2, b cu -7 și c cu -9.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{7±11}{4}$$

Rezolvați ecuația x=\frac{7±11}{4} când ± este plus și când ± este minus.

$$x=\frac{9}{2} x=-1$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$2\left(x-\frac{9}{2}\right)\left(x+1\right)<0$$

Pentru ca produsul să fie negativ, x-\frac{9}{2} și x+1 trebuie să fie de semne opuse. Tratați cazul în care x-\frac{9}{2} este pozitiv și x+1 este negativ.

$$x-\frac{9}{2}>0 x+1<0$$

Este fals pentru orice x.

$$x\in \emptyset$$

Tratați cazul în care x+1 este pozitiv și x-\frac{9}{2} este negativ.

$$x+1>0 x-\frac{9}{2}<0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x\in \left(-1,\frac{9}{2}\right).

$$x\in \left(-1,\frac{9}{2}\right)$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$x\in \left(-1,\frac{9}{2}\right)$$