Rezolvați 2x^2-11x+16=0

$$2 x ^ { 2 } - 11 x + 16 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4}\approx 2,75+0,661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}\approx 2,75-0,661437828i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-11x+16=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -11 și c cu 16 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Ridicați -11 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\times 16}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 16.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-128}}{2\times 2}$$

Adunați 121 cu -128.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-7}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -7.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Opusul lui -11 este 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4} atunci când ± este plus. Adunați 11 cu i\sqrt{7}.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{7} din 11.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x+16=0$$

Scădeți 16 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}-11x+16-16=-16$$

Scăderea 16 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}-11x=-16$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=-\frac{16}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{16}{2}$$

Împărțiți -16 la 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-8$$

Împărțiți -\frac{11}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-8+\frac{121}{16}$$

Adunați -8 cu \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{7}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Adunați \frac{11}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$