Rezolvați 2x^2-10x+7=0

$$2 x ^ { 2 } - 10 x + 7 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{11} + 5}{2} \approx 4,158312395$$

$$x=\frac{5-\sqrt{11}}{2}\approx 0,841687605$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-10x+7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -10 și c cu 7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Ridicați -10 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-8\times 7}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 7.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-56}}{2\times 2}$$

Adunați 100 cu -56.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{44}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 44.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{11}}{2\times 2}$$

Opusul lui -10 este 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{11}}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{10±2\sqrt{11}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{10±2\sqrt{11}}{4} atunci când ± este plus. Adunați 10 cu 2\sqrt{11}.

$$x=\frac{2\sqrt{11}+10}{4}$$

Împărțiți 10+2\sqrt{11} la 4.

$$x=\frac{\sqrt{11}+5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{10±2\sqrt{11}}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{11} din 10.

$$x=\frac{10-2\sqrt{11}}{4}$$

Împărțiți 10-2\sqrt{11} la 4.

$$x=\frac{5-\sqrt{11}}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{11}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{11}}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-10x+7=0$$

Scădeți 7 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}-10x+7-7=-7$$

Scăderea 7 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}-10x=-7$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-10x}{2}=-\frac{7}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{2}\right)x=-\frac{7}{2}$$

Împărțiți -10 la 2.

$$x^{2}-5x=-\frac{7}{2}$$

Împărțiți -5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{7}{2}+\frac{25}{4}$$

Adunați -\frac{7}{2} cu \frac{25}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{11}{4}$$

Factor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{11}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{11}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{11}}{2}$$

Adunați \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{11}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{11}}{2}$$