Rezolvați 2x^2+23x+51

$$2 x ^ { 2 } + 23 x + 51$$

Descompunere în factori

$$\left(x+3\right)\left(2x+17\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx+51. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=23 ab=2\times 51=102$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 102.

$$1,102 2,51 3,34 6,17$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+102=103 2+51=53 3+34=37 6+17=23$$

Soluția este perechea care dă suma de 23.

$$a=6 b=17$$

Rescrieți 2x^{2}+23x+51 ca \left(2x^{2}+6x\right)+\left(17x+51\right).

$$\left(2x^{2}+6x\right)+\left(17x+51\right)$$

Factor 2x în primul și 17 în al doilea grup.

$$2x\left(x+3\right)+17\left(x+3\right)$$

Scoateți termenul comun x+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x+3\right)\left(2x+17\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+23x+51=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 2\times 51}}{2\times 2}$$

Ridicați 23 la pătrat.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 2\times 51}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-8\times 51}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 51.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-408}}{2\times 2}$$

Adunați 529 cu -408.

$$x=\frac{-23±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$x=\frac{-23±11}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-23±11}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-23±11}{4} atunci când ± este plus. Adunați -23 cu 11.

$$x=-\frac{12}{4}$$

Împărțiți -12 la 4.

$$x=-3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-23±11}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din -23.

$$x=-\frac{34}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-34}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{17}{2}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -3 și x_{2} cu -\frac{17}{2}.

$$2x^{2}+23x+51=2\left(x-\left(-3\right)\right)\left(x-\left(-\frac{17}{2}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$2x^{2}+23x+51=2\left(x+3\right)\left(x+\frac{17}{2}\right)$$

Adunați \frac{17}{2} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$2x^{2}+23x+51=2\left(x+3\right)\times \frac{2x+17}{2}$$

Simplificați cu 2, cel mai mare factor comun din 2 și 2.

$$2x^{2}+23x+51=\left(x+3\right)\left(2x+17\right)$$

Evaluați

$$\left(x+3\right)\left(2x+17\right)$$