Rezolvați 2x^2+17x-9=0

$$2 x ^ { 2 } + 17 x - 9 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-9$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-9. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=17 ab=2\left(-9\right)=-18$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -18.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 17.

$$a=-1 b=18$$

Rescrieți 2x^{2}+17x-9 ca \left(2x^{2}-x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(18x-9\right)$$

Factor x în primul și 9 în al doilea grup.

$$x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-1\right)\left(x+9\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x-1=0 și x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-9$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}+17x-9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 17 și c cu -9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 17 la pătrat.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-8\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -9.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+72}}{2\times 2}$$

Adunați 289 cu 72.

$$x=\frac{-17±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 361.

$$x=\frac{-17±19}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-17±19}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-17±19}{4} atunci când ± este plus. Adunați -17 cu 19.

$$x=\frac{2}{4}$$

Reduceți fracția \frac{2}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-17±19}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 19 din -17.

$$x=-\frac{36}{4}$$

Împărțiți -36 la 4.

$$x=-9$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{2} x=-9$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+17x-9=0$$

Adunați 9 la ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+17x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Scăderea -9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+17x=-\left(-9\right)$$

Scădeți -9 din 0.

$$2x^{2}+17x=9$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+17x}{2}=\frac{9}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x=\frac{9}{2}$$

Împărțiți \frac{17}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{17}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{17}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{17}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{9}{2}+\frac{289}{16}$$

Adunați \frac{9}{2} cu \frac{289}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{361}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{17}{4}=\frac{19}{4} x+\frac{17}{4}=-\frac{19}{4}$$

Scădeți \frac{17}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{2} x=-9$$