Rezolvați 2b^2-105=-11b

$$2 b ^ { 2 } - 105 = - 11 b$$

Rezolvați pentru b

$$b = -\frac{21}{2} = -10\frac{1}{2} = -10,5$$

$$b=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Adăugați 11b la ambele părți.

$$2b^{2}-105+11b=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$2b^{2}+11b-105=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2b^{2}+ab+bb-105. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=11 ab=2\left(-105\right)=-210$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -210.

$$-1,210 -2,105 -3,70 -5,42 -6,35 -7,30 -10,21 -14,15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+210=209 -2+105=103 -3+70=67 -5+42=37 -6+35=29 -7+30=23 -10+21=11 -14+15=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 11.

$$a=-10 b=21$$

Rescrieți 2b^{2}+11b-105 ca \left(2b^{2}-10b\right)+\left(21b-105\right).

$$\left(2b^{2}-10b\right)+\left(21b-105\right)$$

Factor 2b în primul și 21 în al doilea grup.

$$2b\left(b-5\right)+21\left(b-5\right)$$

Scoateți termenul comun b-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(b-5\right)\left(2b+21\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați b-5=0 și 2b+21=0.

$$b=5 b=-\frac{21}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Adăugați 11b la ambele părți.

$$2b^{2}-105+11b=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2b^{2}+11b-105=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 11 și c cu -105 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 2\left(-105\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 11 la pătrat.

$$b=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 2\left(-105\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$b=\frac{-11±\sqrt{121-8\left(-105\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -105.

$$b=\frac{-11±\sqrt{121+840}}{2\times 2}$$

Adunați 121 cu 840.

$$b=\frac{-11±\sqrt{961}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 961.

$$b=\frac{-11±31}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$b=\frac{-11±31}{4}$$

Acum rezolvați ecuația b=\frac{-11±31}{4} atunci când ± este plus. Adunați -11 cu 31.

$$b=\frac{20}{4}$$

Împărțiți 20 la 4.

$$b=5$$

Acum rezolvați ecuația b=\frac{-11±31}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 31 din -11.

$$b=-\frac{42}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-42}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$b=-\frac{21}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$b=5 b=-\frac{21}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Adăugați 11b la ambele părți.

$$2b^{2}-105+11b=0$$

Adăugați 105 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$2b^{2}+11b=105$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2b^{2}+11b}{2}=\frac{105}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$b^{2}+\frac{11}{2}b=\frac{105}{2}$$

Împărțiți \frac{11}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{11}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{11}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$b^{2}+\frac{11}{2}b+\left(\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{105}{2}+\left(\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{11}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$b^{2}+\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=\frac{105}{2}+\frac{121}{16}$$

Adunați \frac{105}{2} cu \frac{121}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$b^{2}+\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=\frac{961}{16}$$

Factor b^{2}+\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b+\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{961}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(b+\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{16}}$$

Simplificați.

$$b+\frac{11}{4}=\frac{31}{4} b+\frac{11}{4}=-\frac{31}{4}$$

Scădeți \frac{11}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$b=5 b=-\frac{21}{2}$$