Rezolvați 2-3x(4-x)=x^2-16

$$2 - 3 x ( 4 - x ) = x ^ { 2 } - 16$$

Rezolvați pentru x

$$x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2-3x\left(4-x\right)-x^{2}=-16$$

Adăugați 16 la ambele părți.

$$2-3x\left(4-x\right)-x^{2}+16=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -3x cu 4-x.

$$2-12x+3x^{2}-x^{2}+16=0$$

Combinați 3x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$2-12x+2x^{2}+16=0$$

Adunați 2 și 16 pentru a obține 18.

$$18-12x+2x^{2}=0$$

Se împart ambele părți la 2.

$$9-6x+x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+9. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-6 ab=1\times 9=9$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

Soluția este perechea care dă suma de -6.

$$a=-3 b=-3$$

Rescrieți x^{2}-6x+9 ca \left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right)$$

Factor x în primul și -3 în al doilea grup.

$$x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Scoateți termenul comun x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(x-3\right)^{2}$$

Pentru a găsi soluția ecuației, rezolvați x-3=0.

$$x=3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2-3x\left(4-x\right)-x^{2}=-16$$

Adăugați 16 la ambele părți.

$$2-3x\left(4-x\right)-x^{2}+16=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -3x cu 4-x.

$$2-12x+3x^{2}-x^{2}+16=0$$

Combinați 3x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$2-12x+2x^{2}+16=0$$

Adunați 2 și 16 pentru a obține 18.

$$18-12x+2x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-12x+18=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -12 și c cu 18 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 18}}{2\times 2}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 2\times 18}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-8\times 18}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 18.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 2}$$

Adunați 144 cu -144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=-\frac{-12}{2\times 2}$$

Opusul lui -12 este 12.

$$x=\frac{12}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{12}{4}$$

Împărțiți 12 la 4.

$$x=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2-3x\left(4-x\right)-x^{2}=-16$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -3x cu 4-x.

$$2-12x+3x^{2}-x^{2}=-16$$

Combinați 3x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$2-12x+2x^{2}=-16$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$-12x+2x^{2}=-16-2$$

Scădeți 2 din -16 pentru a obține -18.

$$-12x+2x^{2}=-18$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-12x=-18$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-12x}{2}=-\frac{18}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{2}\right)x=-\frac{18}{2}$$

Împărțiți -12 la 2.

$$x^{2}-6x=-\frac{18}{2}$$

Împărțiți -18 la 2.

$$x^{2}-6x=-9$$

Împărțiți -6, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -3. Apoi, adunați pătratul lui -3 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x^{2}-6x+9=-9+9$$

Adunați -9 cu 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Factor x^{2}-6x+9. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$x-3=0 x-3=0$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=3$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$x=3$$