Rezolvați 2x^2-5x+1=4

$$2 { x }^{ 2 } -5x+1=4$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 4 din ambele părți.

$$2x^{2}-5x+1-4=0$$

Scădeți 4 din 1 pentru a obține -3.

$$2x^{2}-5x-3=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-5 ab=2\left(-3\right)=-6$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -6.

$$1,-6 2,-3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=-6 b=1$$

Rescrieți 2x^{2}-5x-3 ca \left(2x^{2}-6x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(x-3\right)$$

Scoateți factorul comun 2x din 2x^{2}-6x.

$$2x\left(x-3\right)+x-3$$

Scoateți termenul comun x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-3=0 și 2x+1=0.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-5x+1=4$$

Scădeți 4 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}-5x+1-4=4-4$$

Scăderea 4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}-5x+1-4=0$$

Scădeți 4 din 1.

$$2x^{2}-5x-3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -5 și c cu -3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 2}$$

Adunați 25 cu 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 2}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{5±7}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±7}{4} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu 7.

$$x=\frac{12}{4}$$

Împărțiți 12 la 4.

$$x=3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±7}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din 5.

$$x=-\frac{2}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-5x+1=4$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}-5x+1-1=4-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}-5x=4-1$$

Scădeți 1 din 4.

$$2x^{2}-5x=3$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{3}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{3}{2}$$

Împărțiți -\frac{5}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{3}{2}+\frac{25}{16}$$

Adunați \frac{3}{2} cu \frac{25}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{49}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{7}{4}$$

Adunați \frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$