Rezolvați 2x^2+9x+9=0

$$2 { x }^{ 2 } +9x+9=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=-3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx+9. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=9 ab=2\times 9=18$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

Soluția este perechea care dă suma de 9.

$$a=3 b=6$$

Rescrieți 2x^{2}+9x+9 ca \left(2x^{2}+3x\right)+\left(6x+9\right).

$$\left(2x^{2}+3x\right)+\left(6x+9\right)$$

Factor x în primul și 3 în al doilea grup.

$$x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)$$

Scoateți termenul comun 2x+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x+3\right)\left(x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x+3=0 și x+3=0.

$$x=-\frac{3}{2} x=-3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}+9x+9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 9 și c cu 9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Ridicați 9 la pătrat.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 9}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 2}$$

Adunați 81 cu -72.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9.

$$x=\frac{-9±3}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-9±3}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-9±3}{4} atunci când ± este plus. Adunați -9 cu 3.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-6}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-9±3}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 3 din -9.

$$x=-\frac{12}{4}$$

Împărțiți -12 la 4.

$$x=-3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{3}{2} x=-3$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+9x+9=0$$

Scădeți 9 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+9x+9-9=-9$$

Scăderea 9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+9x=-9$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+9x}{2}=-\frac{9}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=-\frac{9}{2}$$

Împărțiți \frac{9}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{9}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{9}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{9}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{9}{2}+\frac{81}{16}$$

Adunați -\frac{9}{2} cu \frac{81}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{9}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{9}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}$$

Scădeți \frac{9}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{3}{2} x=-3$$