Rezolvați 2+3x-4x^2=0

$$2 + 3 x - 4 x ^ { 2 } = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{41} + 3}{8} \approx 1,17539053$$

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}\approx -0,42539053$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-4x^{2}+3x+2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -4, b cu 3 și c cu 2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-4\right)\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-4\right)\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți 16 cu 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+32}}{2\left(-4\right)}$$

Adunați 9 cu 32.

$$x=\frac{-3±\sqrt{41}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{41}}{-8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±\sqrt{41}}{-8} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}-3}{-8}$$

Împărțiți -3+\sqrt{41} la -8.

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±\sqrt{41}}{-8} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{41} din -3.

$$x=\frac{-\sqrt{41}-3}{-8}$$

Împărțiți -3-\sqrt{41} la -8.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{8} x=\frac{\sqrt{41}+3}{8}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+3x+2=0$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$-4x^{2}+3x+2-2=-2$$

Scăderea 2 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-4x^{2}+3x=-2$$

Se împart ambele părți la -4.

$$\frac{-4x^{2}+3x}{-4}=-\frac{2}{-4}$$

Împărțirea la -4 anulează înmulțirea cu -4.

$$x^{2}+\frac{3}{-4}x=-\frac{2}{-4}$$

Împărțiți 3 la -4.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=-\frac{2}{-4}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{-4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{1}{2}$$

Împărțiți -\frac{3}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{8}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{1}{2}+\frac{9}{64}$$

Adunați \frac{1}{2} cu \frac{9}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{41}{64}$$

Factor x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Adunați \frac{3}{8} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8} x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$