Rezolvați 19-x^2-4x-1=0

$$19 - x ^ { 2 } - 4 x - 1 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\sqrt{22}-2\approx 2,69041576$$

$$x=-\left(\sqrt{22}+2\right)\approx -6,69041576$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}-4x+18=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu -4 și c cu 18 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 18}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 18}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+4\times 18}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 18.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+72}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 16 cu 72.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{88}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 88.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{22}}{2\left(-1\right)}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±2\sqrt{22}}{-2} atunci când ± este plus. Adunați 4 cu 2\sqrt{22}.

$$x=\frac{2\sqrt{22}+4}{-2}$$

Împărțiți 4+2\sqrt{22} la -2.

$$x=-\left(\sqrt{22}+2\right)$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±2\sqrt{22}}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{22} din 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{22}}{-2}$$

Împărțiți 4-2\sqrt{22} la -2.

$$x=\sqrt{22}-2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\left(\sqrt{22}+2\right) x=\sqrt{22}-2$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-4x+18=0$$

Scădeți 18 din ambele părți ale ecuației.

$$-x^{2}-4x+18-18=-18$$

Scăderea 18 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-x^{2}-4x=-18$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}-4x}{-1}=-\frac{18}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{-1}\right)x=-\frac{18}{-1}$$

Împărțiți -4 la -1.

$$x^{2}+4x=-\frac{18}{-1}$$

Împărțiți -18 la -1.

$$x^{2}+4x=18$$

Împărțiți 4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 2. Apoi, adunați pătratul lui 2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+4x+2^{2}=18+2^{2}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x^{2}+4x+4=18+4$$

Adunați 18 cu 4.

$$x^{2}+4x+4=22$$

Factor x^{2}+4x+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=22$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{22}$$

Simplificați.

$$x+2=\sqrt{22} x+2=-\sqrt{22}$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$x=\sqrt{22}-2 x=-\sqrt{22}-2$$

Rezolvați pentru x

$$x=\sqrt{22}-2\approx 2,69041576$$

$$x=-\sqrt{22}-2\approx -6,69041576$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 1 din 19 pentru a obține 18.

$$18-x^{2}-4x=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}-4x+18=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu -4 și c cu 18 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 18}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 18}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+4\times 18}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 18.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+72}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 16 cu 72.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{88}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 88.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{22}}{2\left(-1\right)}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±2\sqrt{22}}{-2} atunci când ± este plus. Adunați 4 cu 2\sqrt{22}.

$$x=\frac{2\sqrt{22}+4}{-2}$$

Împărțiți 4+2\sqrt{22} la -2.

$$x=-\left(\sqrt{22}+2\right)$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±2\sqrt{22}}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{22} din 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{22}}{-2}$$

Împărțiți 4-2\sqrt{22} la -2.

$$x=\sqrt{22}-2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\left(\sqrt{22}+2\right) x=\sqrt{22}-2$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 1 din 19 pentru a obține 18.

$$18-x^{2}-4x=0$$

Scădeți 18 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-x^{2}-4x=-18$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}-4x}{-1}=-\frac{18}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{-1}\right)x=-\frac{18}{-1}$$

Împărțiți -4 la -1.

$$x^{2}+4x=-\frac{18}{-1}$$

Împărțiți -18 la -1.

$$x^{2}+4x=18$$

Împărțiți 4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 2. Apoi, adunați pătratul lui 2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+4x+2^{2}=18+2^{2}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x^{2}+4x+4=18+4$$

Adunați 18 cu 4.

$$x^{2}+4x+4=22$$

Factor x^{2}+4x+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=22$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{22}$$

Simplificați.

$$x+2=\sqrt{22} x+2=-\sqrt{22}$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$x=\sqrt{22}-2 x=-\sqrt{22}-2$$