Rezolvați 18x^2-15x+2

$$18 x ^ { 2 } - 15 x + 2$$

Descompunere în factori

$$\left(3x-2\right)\left(6x-1\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 18x^{2}+ax+bx+2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-15 ab=18\times 2=36$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Soluția este perechea care dă suma de -15.

$$a=-12 b=-3$$

Rescrieți 18x^{2}-15x+2 ca \left(18x^{2}-12x\right)+\left(-3x+2\right).

$$\left(18x^{2}-12x\right)+\left(-3x+2\right)$$

Factor 6x în primul și -1 în al doilea grup.

$$6x\left(3x-2\right)-\left(3x-2\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-2\right)\left(6x-1\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$18x^{2}-15x+2=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 18\times 2}}{2\times 18}$$

Ridicați -15 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 18\times 2}}{2\times 18}$$

Înmulțiți -4 cu 18.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-72\times 2}}{2\times 18}$$

Înmulțiți -72 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-144}}{2\times 18}$$

Adunați 225 cu -144.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{81}}{2\times 18}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 81.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±9}{2\times 18}$$

Opusul lui -15 este 15.

$$x=\frac{15±9}{2\times 18}$$

Înmulțiți 2 cu 18.

$$x=\frac{15±9}{36}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{15±9}{36} atunci când ± este plus. Adunați 15 cu 9.

$$x=\frac{24}{36}$$

Reduceți fracția \frac{24}{36} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 12.

$$x=\frac{2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{15±9}{36} atunci când ± este minus. Scădeți 9 din 15.

$$x=\frac{6}{36}$$

Reduceți fracția \frac{6}{36} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=\frac{1}{6}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{2}{3} și x_{2} cu \frac{1}{6}.

$$18x^{2}-15x+2=18\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\frac{1}{6}\right)$$

Scădeți \frac{2}{3} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$18x^{2}-15x+2=18\times \frac{3x-2}{3}\left(x-\frac{1}{6}\right)$$

Scădeți \frac{1}{6} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$18x^{2}-15x+2=18\times \frac{3x-2}{3}\times \frac{6x-1}{6}$$

Înmulțiți \frac{3x-2}{3} cu \frac{6x-1}{6} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$18x^{2}-15x+2=18\times \frac{\left(3x-2\right)\left(6x-1\right)}{3\times 6}$$

Înmulțiți 3 cu 6.

$$18x^{2}-15x+2=18\times \frac{\left(3x-2\right)\left(6x-1\right)}{18}$$

Simplificați cu 18, cel mai mare factor comun din 18 și 18.

$$18x^{2}-15x+2=\left(3x-2\right)\left(6x-1\right)$$

Evaluați

$$\left(3x-2\right)\left(6x-1\right)$$