Rezolvați 16x^2-24x+9=0

$$16 x ^ { 2 } - 24 x + 9 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 16x^{2}+ax+bx+9. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-24 ab=16\times 9=144$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

Soluția este perechea care dă suma de -24.

$$a=-12 b=-12$$

Rescrieți 16x^{2}-24x+9 ca \left(16x^{2}-12x\right)+\left(-12x+9\right).

$$\left(16x^{2}-12x\right)+\left(-12x+9\right)$$

Factor 4x în primul și -3 în al doilea grup.

$$4x\left(4x-3\right)-3\left(4x-3\right)$$

Scoateți termenul comun 4x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4x-3\right)\left(4x-3\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(4x-3\right)^{2}$$

Pentru a găsi soluția ecuației, rezolvați 4x-3=0.

$$x=\frac{3}{4}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$16x^{2}-24x+9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 16, b cu -24 și c cu 9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

Ridicați -24 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

Înmulțiți -4 cu 16.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-64\times 9}}{2\times 16}$$

Înmulțiți -64 cu 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-576}}{2\times 16}$$

Adunați 576 cu -576.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{0}}{2\times 16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=-\frac{-24}{2\times 16}$$

Opusul lui -24 este 24.

$$x=\frac{24}{2\times 16}$$

Înmulțiți 2 cu 16.

$$x=\frac{24}{32}$$

Reduceți fracția \frac{24}{32} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=\frac{3}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-24x+9=0$$

Scădeți 9 din ambele părți ale ecuației.

$$16x^{2}-24x+9-9=-9$$

Scăderea 9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$16x^{2}-24x=-9$$

Se împart ambele părți la 16.

$$\frac{16x^{2}-24x}{16}=-\frac{9}{16}$$

Împărțirea la 16 anulează înmulțirea cu 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{16}\right)x=-\frac{9}{16}$$

Reduceți fracția \frac{-24}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{9}{16}$$

Împărțiți -\frac{3}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{16}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{-9+9}{16}$$

Adunați -\frac{9}{16} cu \frac{9}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=0$$

Factor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{4}=0 x-\frac{3}{4}=0$$

Adunați \frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3}{4} x=\frac{3}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$x=\frac{3}{4}$$