Rezolvați 16x^2+8x-3=0

$$16 x ^ { 2 } + 8 x - 3 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 16x^{2}+ax+bx-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=8 ab=16\left(-3\right)=-48$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 8.

$$a=-4 b=12$$

Rescrieți 16x^{2}+8x-3 ca \left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right).

$$\left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right)$$

Factor 4x în primul și 3 în al doilea grup.

$$4x\left(4x-1\right)+3\left(4x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 4x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 4x-1=0 și 4x+3=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 16, b cu 8 și c cu -3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Ridicați 8 la pătrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Înmulțiți -4 cu 16.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-64\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Înmulțiți -64 cu -3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+192}}{2\times 16}$$

Adunați 64 cu 192.

$$x=\frac{-8±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 256.

$$x=\frac{-8±16}{2\times 16}$$

Înmulțiți 2 cu 16.

$$x=\frac{-8±16}{32}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8±16}{32} atunci când ± este plus. Adunați -8 cu 16.

$$x=\frac{8}{32}$$

Reduceți fracția \frac{8}{32} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=\frac{1}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8±16}{32} atunci când ± este minus. Scădeți 16 din -8.

$$x=-\frac{24}{32}$$

Reduceți fracția \frac{-24}{32} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$16x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Scăderea -3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$16x^{2}+8x=-\left(-3\right)$$

Scădeți -3 din 0.

$$16x^{2}+8x=3$$

Se împart ambele părți la 16.

$$\frac{16x^{2}+8x}{16}=\frac{3}{16}$$

Împărțirea la 16 anulează înmulțirea cu 16.

$$x^{2}+\frac{8}{16}x=\frac{3}{16}$$

Reduceți fracția \frac{8}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{3}{16}$$

Împărțiți \frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{16}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3+1}{16}$$

Adunați \frac{3}{16} cu \frac{1}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

Scădeți \frac{1}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$