Rezolvați 16b^2-44b+10=0

$$16 b ^ { 2 } - 44 b + 10 = 0$$

Rezolvați pentru b

$$b=\frac{1}{4}=0,25$$

$$b = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 2.

$$8b^{2}-22b+5=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 8b^{2}+ab+bb+5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-22 ab=8\times 5=40$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Soluția este perechea care dă suma de -22.

$$a=-20 b=-2$$

Rescrieți 8b^{2}-22b+5 ca \left(8b^{2}-20b\right)+\left(-2b+5\right).

$$\left(8b^{2}-20b\right)+\left(-2b+5\right)$$

Factor 4b în primul și -1 în al doilea grup.

$$4b\left(2b-5\right)-\left(2b-5\right)$$

Scoateți termenul comun 2b-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2b-5\right)\left(4b-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2b-5=0 și 4b-1=0.

$$b=\frac{5}{2} b=\frac{1}{4}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$16b^{2}-44b+10=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 16, b cu -44 și c cu 10 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{\left(-44\right)^{2}-4\times 16\times 10}}{2\times 16}$$

Ridicați -44 la pătrat.

$$b=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-4\times 16\times 10}}{2\times 16}$$

Înmulțiți -4 cu 16.

$$b=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-64\times 10}}{2\times 16}$$

Înmulțiți -64 cu 10.

$$b=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-640}}{2\times 16}$$

Adunați 1936 cu -640.

$$b=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1296}}{2\times 16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1296.

$$b=\frac{-\left(-44\right)±36}{2\times 16}$$

Opusul lui -44 este 44.

$$b=\frac{44±36}{2\times 16}$$

Înmulțiți 2 cu 16.

$$b=\frac{44±36}{32}$$

Acum rezolvați ecuația b=\frac{44±36}{32} atunci când ± este plus. Adunați 44 cu 36.

$$b=\frac{80}{32}$$

Reduceți fracția \frac{80}{32} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 16.

$$b=\frac{5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația b=\frac{44±36}{32} atunci când ± este minus. Scădeți 36 din 44.

$$b=\frac{8}{32}$$

Reduceți fracția \frac{8}{32} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$b=\frac{1}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$b=\frac{5}{2} b=\frac{1}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$16b^{2}-44b+10=0$$

Scădeți 10 din ambele părți ale ecuației.

$$16b^{2}-44b+10-10=-10$$

Scăderea 10 din el însuși are ca rezultat 0.

$$16b^{2}-44b=-10$$

Se împart ambele părți la 16.

$$\frac{16b^{2}-44b}{16}=-\frac{10}{16}$$

Împărțirea la 16 anulează înmulțirea cu 16.

$$b^{2}+\left(-\frac{44}{16}\right)b=-\frac{10}{16}$$

Reduceți fracția \frac{-44}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$b^{2}-\frac{11}{4}b=-\frac{10}{16}$$

Reduceți fracția \frac{-10}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$b^{2}-\frac{11}{4}b=-\frac{5}{8}$$

Împărțiți -\frac{11}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{8}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$b^{2}-\frac{11}{4}b+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{8}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$b^{2}-\frac{11}{4}b+\frac{121}{64}=-\frac{5}{8}+\frac{121}{64}$$

Adunați -\frac{5}{8} cu \frac{121}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$b^{2}-\frac{11}{4}b+\frac{121}{64}=\frac{81}{64}$$

Factor b^{2}-\frac{11}{4}b+\frac{121}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(b-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Simplificați.

$$b-\frac{11}{8}=\frac{9}{8} b-\frac{11}{8}=-\frac{9}{8}$$

Adunați \frac{11}{8} la ambele părți ale ecuației.

$$b=\frac{5}{2} b=\frac{1}{4}$$