Rezolvați 1530quadx^2-30x-470=0

$$1530 \quad x ^ { 2 } - 30 x - 470 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{3197}+1}{102}\approx 0,564137449$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3197}}{102}\approx -0,544529606$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$1530x^{2}-30x-470=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1530, b cu -30 și c cu -470 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 1530\left(-470\right)}}{2\times 1530}$$

Ridicați -30 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 1530\left(-470\right)}}{2\times 1530}$$

Înmulțiți -4 cu 1530.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-6120\left(-470\right)}}{2\times 1530}$$

Înmulțiți -6120 cu -470.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900+2876400}}{2\times 1530}$$

Adunați 900 cu 2876400.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{2877300}}{2\times 1530}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2877300.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±30\sqrt{3197}}{2\times 1530}$$

Opusul lui -30 este 30.

$$x=\frac{30±30\sqrt{3197}}{2\times 1530}$$

Înmulțiți 2 cu 1530.

$$x=\frac{30±30\sqrt{3197}}{3060}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{30±30\sqrt{3197}}{3060} atunci când ± este plus. Adunați 30 cu 30\sqrt{3197}.

$$x=\frac{30\sqrt{3197}+30}{3060}$$

Împărțiți 30+30\sqrt{3197} la 3060.

$$x=\frac{\sqrt{3197}+1}{102}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{30±30\sqrt{3197}}{3060} atunci când ± este minus. Scădeți 30\sqrt{3197} din 30.

$$x=\frac{30-30\sqrt{3197}}{3060}$$

Împărțiți 30-30\sqrt{3197} la 3060.

$$x=\frac{1-\sqrt{3197}}{102}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{3197}+1}{102} x=\frac{1-\sqrt{3197}}{102}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$1530x^{2}-30x-470=0$$

Adunați 470 la ambele părți ale ecuației.

$$1530x^{2}-30x-470-\left(-470\right)=-\left(-470\right)$$

Scăderea -470 din el însuși are ca rezultat 0.

$$1530x^{2}-30x=-\left(-470\right)$$

Scădeți -470 din 0.

$$1530x^{2}-30x=470$$

Se împart ambele părți la 1530.

$$\frac{1530x^{2}-30x}{1530}=\frac{470}{1530}$$

Împărțirea la 1530 anulează înmulțirea cu 1530.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{1530}\right)x=\frac{470}{1530}$$

Reduceți fracția \frac{-30}{1530} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 30.

$$x^{2}-\frac{1}{51}x=\frac{470}{1530}$$

Reduceți fracția \frac{470}{1530} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x^{2}-\frac{1}{51}x=\frac{47}{153}$$

Împărțiți -\frac{1}{51}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{102}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{102} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{51}x+\left(-\frac{1}{102}\right)^{2}=\frac{47}{153}+\left(-\frac{1}{102}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{102} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{51}x+\frac{1}{10404}=\frac{47}{153}+\frac{1}{10404}$$

Adunați \frac{47}{153} cu \frac{1}{10404} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{51}x+\frac{1}{10404}=\frac{3197}{10404}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{51}x+\frac{1}{10404}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{102}\right)^{2}=\frac{3197}{10404}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{102}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3197}{10404}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{102}=\frac{\sqrt{3197}}{102} x-\frac{1}{102}=-\frac{\sqrt{3197}}{102}$$

Adunați \frac{1}{102} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{3197}+1}{102} x=\frac{1-\sqrt{3197}}{102}$$