Rezolvați 14x^2-23x+6=0

$$14 x ^ { 2 } - 23 x + 6 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{193} + 23}{28} \approx 1,317587285$$

$$x=\frac{23-\sqrt{193}}{28}\approx 0,325269858$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$14x^{2}-23x+6=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 14, b cu -23 și c cu 6 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 14\times 6}}{2\times 14}$$

Ridicați -23 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 14\times 6}}{2\times 14}$$

Înmulțiți -4 cu 14.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-56\times 6}}{2\times 14}$$

Înmulțiți -56 cu 6.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-336}}{2\times 14}$$

Adunați 529 cu -336.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{193}}{2\times 14}$$

Opusul lui -23 este 23.

$$x=\frac{23±\sqrt{193}}{2\times 14}$$

Înmulțiți 2 cu 14.

$$x=\frac{23±\sqrt{193}}{28}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{23±\sqrt{193}}{28} atunci când ± este plus. Adunați 23 cu \sqrt{193}.

$$x=\frac{\sqrt{193}+23}{28}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{23±\sqrt{193}}{28} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{193} din 23.

$$x=\frac{23-\sqrt{193}}{28}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{193}+23}{28} x=\frac{23-\sqrt{193}}{28}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}-23x+6=0$$

Scădeți 6 din ambele părți ale ecuației.

$$14x^{2}-23x+6-6=-6$$

Scăderea 6 din el însuși are ca rezultat 0.

$$14x^{2}-23x=-6$$

Se împart ambele părți la 14.

$$\frac{14x^{2}-23x}{14}=-\frac{6}{14}$$

Împărțirea la 14 anulează înmulțirea cu 14.

$$x^{2}-\frac{23}{14}x=-\frac{6}{14}$$

Reduceți fracția \frac{-6}{14} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{23}{14}x=-\frac{3}{7}$$

Împărțiți -\frac{23}{14}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{23}{28}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{23}{28} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{23}{14}x+\left(-\frac{23}{28}\right)^{2}=-\frac{3}{7}+\left(-\frac{23}{28}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{23}{28} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{23}{14}x+\frac{529}{784}=-\frac{3}{7}+\frac{529}{784}$$

Adunați -\frac{3}{7} cu \frac{529}{784} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{23}{14}x+\frac{529}{784}=\frac{193}{784}$$

Factor x^{2}-\frac{23}{14}x+\frac{529}{784}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{28}\right)^{2}=\frac{193}{784}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{193}{784}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{23}{28}=\frac{\sqrt{193}}{28} x-\frac{23}{28}=-\frac{\sqrt{193}}{28}$$

Adunați \frac{23}{28} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{193}+23}{28} x=\frac{23-\sqrt{193}}{28}$$