Rezolvați 13n^2-41n-120=0

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

Rezolvați pentru n

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1,846153846$$

$$n=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 13n^{2}+an+bn-120. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -1560.

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -41.

$$a=-65 b=24$$

Rescrieți 13n^{2}-41n-120 ca \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right).

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

Factor 13n în primul și 24 în al doilea grup.

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

Scoateți termenul comun n-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați n-5=0 și 13n+24=0.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 13, b cu -41 și c cu -120 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Ridicați -41 la pătrat.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Înmulțiți -4 cu 13.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Înmulțiți -52 cu -120.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

Adunați 1681 cu 6240.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 7921.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

Opusul lui -41 este 41.

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

Înmulțiți 2 cu 13.

$$n=\frac{41±89}{26}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{41±89}{26} atunci când ± este plus. Adunați 41 cu 89.

$$n=\frac{130}{26}$$

Împărțiți 130 la 26.

$$n=5$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{41±89}{26} atunci când ± este minus. Scădeți 89 din 41.

$$n=-\frac{48}{26}$$

Reduceți fracția \frac{-48}{26} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$n=-\frac{24}{13}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Adunați 120 la ambele părți ale ecuației.

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Scăderea -120 din el însuși are ca rezultat 0.

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

Scădeți -120 din 0.

$$13n^{2}-41n=120$$

Se împart ambele părți la 13.

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

Împărțirea la 13 anulează înmulțirea cu 13.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

Împărțiți -\frac{41}{13}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{41}{26}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{41}{26} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{41}{26} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

Adunați \frac{120}{13} cu \frac{1681}{676} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

Factor n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

Simplificați.

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

Adunați \frac{41}{26} la ambele părți ale ecuației.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$