Rezolvați 13a^2-12a-9=0

$$13 a ^ { 2 } - 12 a - 9 = 0$$

Rezolvați pentru a

$$a = \frac{3 \sqrt{17} + 6}{13} \approx 1,413024375$$

$$a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}\approx -0,489947452$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$13a^{2}-12a-9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 13, b cu -12 și c cu -9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 13\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 13\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

Înmulțiți -4 cu 13.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-52\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

Înmulțiți -52 cu -9.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+468}}{2\times 13}$$

Adunați 144 cu 468.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{612}}{2\times 13}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 612.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{17}}{2\times 13}$$

Opusul lui -12 este 12.

$$a=\frac{12±6\sqrt{17}}{2\times 13}$$

Înmulțiți 2 cu 13.

$$a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26} atunci când ± este plus. Adunați 12 cu 6\sqrt{17}.

$$a=\frac{6\sqrt{17}+12}{26}$$

Împărțiți 12+6\sqrt{17} la 26.

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26} atunci când ± este minus. Scădeți 6\sqrt{17} din 12.

$$a=\frac{12-6\sqrt{17}}{26}$$

Împărțiți 12-6\sqrt{17} la 26.

$$a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13} a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$13a^{2}-12a-9=0$$

Adunați 9 la ambele părți ale ecuației.

$$13a^{2}-12a-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Scăderea -9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$13a^{2}-12a=-\left(-9\right)$$

Scădeți -9 din 0.

$$13a^{2}-12a=9$$

Se împart ambele părți la 13.

$$\frac{13a^{2}-12a}{13}=\frac{9}{13}$$

Împărțirea la 13 anulează înmulțirea cu 13.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a=\frac{9}{13}$$

Împărțiți -\frac{12}{13}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{6}{13}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{6}{13} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\left(-\frac{6}{13}\right)^{2}=\frac{9}{13}+\left(-\frac{6}{13}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{6}{13} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}=\frac{9}{13}+\frac{36}{169}$$

Adunați \frac{9}{13} cu \frac{36}{169} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}=\frac{153}{169}$$

Factor a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{6}{13}\right)^{2}=\frac{153}{169}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(a-\frac{6}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{153}{169}}$$

Simplificați.

$$a-\frac{6}{13}=\frac{3\sqrt{17}}{13} a-\frac{6}{13}=-\frac{3\sqrt{17}}{13}$$

Adunați \frac{6}{13} la ambele părți ale ecuației.

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13} a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$