Rezolvați 12x^2+20x+7=0

$$12 x ^ { 2 } + 20 x + 7 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1,166666667$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 12x^{2}+ax+bx+7. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=20 ab=12\times 7=84$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 84.

$$1,84 2,42 3,28 4,21 6,14 7,12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+84=85 2+42=44 3+28=31 4+21=25 6+14=20 7+12=19$$

Soluția este perechea care dă suma de 20.

$$a=6 b=14$$

Rescrieți 12x^{2}+20x+7 ca \left(12x^{2}+6x\right)+\left(14x+7\right).

$$\left(12x^{2}+6x\right)+\left(14x+7\right)$$

Factor 6x în primul și 7 în al doilea grup.

$$6x\left(2x+1\right)+7\left(2x+1\right)$$

Scoateți termenul comun 2x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x+1\right)\left(6x+7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x+1=0 și 6x+7=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{7}{6}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$12x^{2}+20x+7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 12, b cu 20 și c cu 7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 12\times 7}}{2\times 12}$$

Ridicați 20 la pătrat.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 12\times 7}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-48\times 7}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu 7.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-336}}{2\times 12}$$

Adunați 400 cu -336.

$$x=\frac{-20±\sqrt{64}}{2\times 12}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 64.

$$x=\frac{-20±8}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$x=\frac{-20±8}{24}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-20±8}{24} atunci când ± este plus. Adunați -20 cu 8.

$$x=-\frac{12}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 12.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-20±8}{24} atunci când ± este minus. Scădeți 8 din -20.

$$x=-\frac{28}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-28}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{7}{6}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{7}{6}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+20x+7=0$$

Scădeți 7 din ambele părți ale ecuației.

$$12x^{2}+20x+7-7=-7$$

Scăderea 7 din el însuși are ca rezultat 0.

$$12x^{2}+20x=-7$$

Se împart ambele părți la 12.

$$\frac{12x^{2}+20x}{12}=-\frac{7}{12}$$

Împărțirea la 12 anulează înmulțirea cu 12.

$$x^{2}+\frac{20}{12}x=-\frac{7}{12}$$

Reduceți fracția \frac{20}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{7}{12}$$

Împărțiți \frac{5}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{6}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{7}{12}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{7}{12}+\frac{25}{36}$$

Adunați -\frac{7}{12} cu \frac{25}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{1}{3} x+\frac{5}{6}=-\frac{1}{3}$$

Scădeți \frac{5}{6} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{7}{6}$$