Rezolvați 12x^2+17x-7=0

$$12 x ^ { 2 } + 17 x - 7 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 12x^{2}+ax+bx-7. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=17 ab=12\left(-7\right)=-84$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -84.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

Soluția este perechea care dă suma de 17.

$$a=-4 b=21$$

Rescrieți 12x^{2}+17x-7 ca \left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right)$$

Factor 4x în primul și 7 în al doilea grup.

$$4x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x-1=0 și 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 12, b cu 17 și c cu -7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Ridicați 17 la pătrat.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-48\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu -7.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+336}}{2\times 12}$$

Adunați 289 cu 336.

$$x=\frac{-17±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 625.

$$x=\frac{-17±25}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$x=\frac{-17±25}{24}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-17±25}{24} atunci când ± este plus. Adunați -17 cu 25.

$$x=\frac{8}{24}$$

Reduceți fracția \frac{8}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=\frac{1}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-17±25}{24} atunci când ± este minus. Scădeți 25 din -17.

$$x=-\frac{42}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-42}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

Adunați 7 la ambele părți ale ecuației.

$$12x^{2}+17x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Scăderea -7 din el însuși are ca rezultat 0.

$$12x^{2}+17x=-\left(-7\right)$$

Scădeți -7 din 0.

$$12x^{2}+17x=7$$

Se împart ambele părți la 12.

$$\frac{12x^{2}+17x}{12}=\frac{7}{12}$$

Împărțirea la 12 anulează înmulțirea cu 12.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x=\frac{7}{12}$$

Împărțiți \frac{17}{12}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{17}{24}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{17}{24} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{7}{12}+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{17}{24} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{7}{12}+\frac{289}{576}$$

Adunați \frac{7}{12} cu \frac{289}{576} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{625}{576}$$

Factor x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{17}{24}=\frac{25}{24} x+\frac{17}{24}=-\frac{25}{24}$$

Scădeți \frac{17}{24} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$