Rezolvați 110=n(35+40*5n)/2

$$110 = \frac { n ( 35 + 40 \cdot 5 n ) } { 2 }$$

Rezolvați pentru n

$$n=\frac{\sqrt{7089}-7}{80}\approx 0,964952493$$

$$n=\frac{-\sqrt{7089}-7}{80}\approx -1,139952493$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Se înmulțesc ambele părți cu 2.

$$110\times 2=n\left(35+40\times 5n\right)$$

Înmulțiți 110 cu 2 pentru a obține 220.

$$220=n\left(35+40\times 5n\right)$$

Înmulțiți 40 cu 5 pentru a obține 200.

$$220=n\left(35+200n\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți n cu 35+200n.

$$220=35n+200n^{2}$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$35n+200n^{2}=220$$

Scădeți 220 din ambele părți.

$$35n+200n^{2}-220=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$200n^{2}+35n-220=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 200, b cu 35 și c cu -220 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 200\left(-220\right)}}{2\times 200}$$

Ridicați 35 la pătrat.

$$n=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 200\left(-220\right)}}{2\times 200}$$

Înmulțiți -4 cu 200.

$$n=\frac{-35±\sqrt{1225-800\left(-220\right)}}{2\times 200}$$

Înmulțiți -800 cu -220.

$$n=\frac{-35±\sqrt{1225+176000}}{2\times 200}$$

Adunați 1225 cu 176000.

$$n=\frac{-35±\sqrt{177225}}{2\times 200}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 177225.

$$n=\frac{-35±5\sqrt{7089}}{2\times 200}$$

Înmulțiți 2 cu 200.

$$n=\frac{-35±5\sqrt{7089}}{400}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-35±5\sqrt{7089}}{400} atunci când ± este plus. Adunați -35 cu 5\sqrt{7089}.

$$n=\frac{5\sqrt{7089}-35}{400}$$

Împărțiți -35+5\sqrt{7089} la 400.

$$n=\frac{\sqrt{7089}-7}{80}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-35±5\sqrt{7089}}{400} atunci când ± este minus. Scădeți 5\sqrt{7089} din -35.

$$n=\frac{-5\sqrt{7089}-35}{400}$$

Împărțiți -35-5\sqrt{7089} la 400.

$$n=\frac{-\sqrt{7089}-7}{80}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=\frac{\sqrt{7089}-7}{80} n=\frac{-\sqrt{7089}-7}{80}$$

Pași pentru completarea pătratului

Se înmulțesc ambele părți cu 2.

$$110\times 2=n\left(35+40\times 5n\right)$$

Înmulțiți 110 cu 2 pentru a obține 220.

$$220=n\left(35+40\times 5n\right)$$

Înmulțiți 40 cu 5 pentru a obține 200.

$$220=n\left(35+200n\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți n cu 35+200n.

$$220=35n+200n^{2}$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$35n+200n^{2}=220$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$200n^{2}+35n=220$$

Se împart ambele părți la 200.

$$\frac{200n^{2}+35n}{200}=\frac{220}{200}$$

Împărțirea la 200 anulează înmulțirea cu 200.

$$n^{2}+\frac{35}{200}n=\frac{220}{200}$$

Reduceți fracția \frac{35}{200} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$n^{2}+\frac{7}{40}n=\frac{220}{200}$$

Reduceți fracția \frac{220}{200} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 20.

$$n^{2}+\frac{7}{40}n=\frac{11}{10}$$

Împărțiți \frac{7}{40}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{7}{80}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{7}{80} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}+\frac{7}{40}n+\left(\frac{7}{80}\right)^{2}=\frac{11}{10}+\left(\frac{7}{80}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{7}{80} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}+\frac{7}{40}n+\frac{49}{6400}=\frac{11}{10}+\frac{49}{6400}$$

Adunați \frac{11}{10} cu \frac{49}{6400} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$n^{2}+\frac{7}{40}n+\frac{49}{6400}=\frac{7089}{6400}$$

Factor n^{2}+\frac{7}{40}n+\frac{49}{6400}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{7}{80}\right)^{2}=\frac{7089}{6400}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n+\frac{7}{80}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7089}{6400}}$$

Simplificați.

$$n+\frac{7}{80}=\frac{\sqrt{7089}}{80} n+\frac{7}{80}=-\frac{\sqrt{7089}}{80}$$

Scădeți \frac{7}{80} din ambele părți ale ecuației.

$$n=\frac{\sqrt{7089}-7}{80} n=\frac{-\sqrt{7089}-7}{80}$$