Rezolvați 11x^2-98x-120=0

$$11 x ^ { 2 } - 98 x - 120 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{12}{11} = -1\frac{1}{11} \approx -1,090909091$$

$$x=10$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 11x^{2}+ax+bx-120. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-98 ab=11\left(-120\right)=-1320$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -1320.

$$1,-1320 2,-660 3,-440 4,-330 5,-264 6,-220 8,-165 10,-132 11,-120 12,-110 15,-88 20,-66 22,-60 24,-55 30,-44 33,-40$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-1320=-1319 2-660=-658 3-440=-437 4-330=-326 5-264=-259 6-220=-214 8-165=-157 10-132=-122 11-120=-109 12-110=-98 15-88=-73 20-66=-46 22-60=-38 24-55=-31 30-44=-14 33-40=-7$$

Soluția este perechea care dă suma de -98.

$$a=-110 b=12$$

Rescrieți 11x^{2}-98x-120 ca \left(11x^{2}-110x\right)+\left(12x-120\right).

$$\left(11x^{2}-110x\right)+\left(12x-120\right)$$

Factor 11x în primul și 12 în al doilea grup.

$$11x\left(x-10\right)+12\left(x-10\right)$$

Scoateți termenul comun x-10 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-10\right)\left(11x+12\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-10=0 și 11x+12=0.

$$x=10 x=-\frac{12}{11}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$11x^{2}-98x-120=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 11, b cu -98 și c cu -120 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{\left(-98\right)^{2}-4\times 11\left(-120\right)}}{2\times 11}$$

Ridicați -98 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{9604-4\times 11\left(-120\right)}}{2\times 11}$$

Înmulțiți -4 cu 11.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{9604-44\left(-120\right)}}{2\times 11}$$

Înmulțiți -44 cu -120.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{9604+5280}}{2\times 11}$$

Adunați 9604 cu 5280.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{14884}}{2\times 11}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 14884.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±122}{2\times 11}$$

Opusul lui -98 este 98.

$$x=\frac{98±122}{2\times 11}$$

Înmulțiți 2 cu 11.

$$x=\frac{98±122}{22}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{98±122}{22} atunci când ± este plus. Adunați 98 cu 122.

$$x=\frac{220}{22}$$

Împărțiți 220 la 22.

$$x=10$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{98±122}{22} atunci când ± este minus. Scădeți 122 din 98.

$$x=-\frac{24}{22}$$

Reduceți fracția \frac{-24}{22} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{12}{11}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=10 x=-\frac{12}{11}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-98x-120=0$$

Adunați 120 la ambele părți ale ecuației.

$$11x^{2}-98x-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Scăderea -120 din el însuși are ca rezultat 0.

$$11x^{2}-98x=-\left(-120\right)$$

Scădeți -120 din 0.

$$11x^{2}-98x=120$$

Se împart ambele părți la 11.

$$\frac{11x^{2}-98x}{11}=\frac{120}{11}$$

Împărțirea la 11 anulează înmulțirea cu 11.

$$x^{2}-\frac{98}{11}x=\frac{120}{11}$$

Împărțiți -\frac{98}{11}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{49}{11}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{49}{11} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{98}{11}x+\left(-\frac{49}{11}\right)^{2}=\frac{120}{11}+\left(-\frac{49}{11}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{49}{11} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{98}{11}x+\frac{2401}{121}=\frac{120}{11}+\frac{2401}{121}$$

Adunați \frac{120}{11} cu \frac{2401}{121} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{98}{11}x+\frac{2401}{121}=\frac{3721}{121}$$

Factor x^{2}-\frac{98}{11}x+\frac{2401}{121}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{49}{11}\right)^{2}=\frac{3721}{121}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{49}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3721}{121}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{49}{11}=\frac{61}{11} x-\frac{49}{11}=-\frac{61}{11}$$

Adunați \frac{49}{11} la ambele părți ale ecuației.

$$x=10 x=-\frac{12}{11}$$