Rezolvați 1000x^2+6125x+125=0

$$1000 { x }^{ 2 } +6125x+125=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16}\approx -0,020476619$$

$$x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}\approx -6,104523381$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$1000x^{2}+6125x+125=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1000, b cu 6125 și c cu 125 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{6125^{2}-4\times 1000\times 125}}{2\times 1000}$$

Ridicați 6125 la pătrat.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37515625-4\times 1000\times 125}}{2\times 1000}$$

Înmulțiți -4 cu 1000.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37515625-4000\times 125}}{2\times 1000}$$

Înmulțiți -4000 cu 125.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37515625-500000}}{2\times 1000}$$

Adunați 37515625 cu -500000.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37015625}}{2\times 1000}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 37015625.

$$x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2\times 1000}$$

Înmulțiți 2 cu 1000.

$$x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2000}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2000} atunci când ± este plus. Adunați -6125 cu 125\sqrt{2369}.

$$x=\frac{125\sqrt{2369}-6125}{2000}$$

Împărțiți -6125+125\sqrt{2369} la 2000.

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2000} atunci când ± este minus. Scădeți 125\sqrt{2369} din -6125.

$$x=\frac{-125\sqrt{2369}-6125}{2000}$$

Împărțiți -6125-125\sqrt{2369} la 2000.

$$x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16} x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$1000x^{2}+6125x+125=0$$

Scădeți 125 din ambele părți ale ecuației.

$$1000x^{2}+6125x+125-125=-125$$

Scăderea 125 din el însuși are ca rezultat 0.

$$1000x^{2}+6125x=-125$$

Se împart ambele părți la 1000.

$$\frac{1000x^{2}+6125x}{1000}=-\frac{125}{1000}$$

Împărțirea la 1000 anulează înmulțirea cu 1000.

$$x^{2}+\frac{6125}{1000}x=-\frac{125}{1000}$$

Reduceți fracția \frac{6125}{1000} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 125.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x=-\frac{125}{1000}$$

Reduceți fracția \frac{-125}{1000} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 125.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x=-\frac{1}{8}$$

Împărțiți \frac{49}{8}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{49}{16}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{49}{16} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x+\left(\frac{49}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(\frac{49}{16}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{49}{16} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x+\frac{2401}{256}=-\frac{1}{8}+\frac{2401}{256}$$

Adunați -\frac{1}{8} cu \frac{2401}{256} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x+\frac{2401}{256}=\frac{2369}{256}$$

Factor x^{2}+\frac{49}{8}x+\frac{2401}{256}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{49}{16}\right)^{2}=\frac{2369}{256}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{49}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2369}{256}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{49}{16}=\frac{\sqrt{2369}}{16} x+\frac{49}{16}=-\frac{\sqrt{2369}}{16}$$

Scădeți \frac{49}{16} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16} x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}$$