Rezolvați 10y^2+3y-4

$$10 y ^ { 2 } + 3 y - 4$$

Descompunere în factori

$$\left(2y-1\right)\left(5y+4\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 10y^{2}+ay+by-4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=3 ab=10\left(-4\right)=-40$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 3.

$$a=-5 b=8$$

Rescrieți 10y^{2}+3y-4 ca \left(10y^{2}-5y\right)+\left(8y-4\right).

$$\left(10y^{2}-5y\right)+\left(8y-4\right)$$

Factor 5y în primul și 4 în al doilea grup.

$$5y\left(2y-1\right)+4\left(2y-1\right)$$

Scoateți termenul comun 2y-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2y-1\right)\left(5y+4\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$10y^{2}+3y-4=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 10\left(-4\right)}}{2\times 10}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 10\left(-4\right)}}{2\times 10}$$

Înmulțiți -4 cu 10.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-40\left(-4\right)}}{2\times 10}$$

Înmulțiți -40 cu -4.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2\times 10}$$

Adunați 9 cu 160.

$$y=\frac{-3±\sqrt{169}}{2\times 10}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$y=\frac{-3±13}{2\times 10}$$

Înmulțiți 2 cu 10.

$$y=\frac{-3±13}{20}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-3±13}{20} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu 13.

$$y=\frac{10}{20}$$

Reduceți fracția \frac{10}{20} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$y=\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-3±13}{20} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din -3.

$$y=-\frac{16}{20}$$

Reduceți fracția \frac{-16}{20} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$y=-\frac{4}{5}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{1}{2} și x_{2} cu -\frac{4}{5}.

$$10y^{2}+3y-4=10\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(y-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$10y^{2}+3y-4=10\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(y+\frac{4}{5}\right)$$

Scădeți \frac{1}{2} din y găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$10y^{2}+3y-4=10\times \frac{2y-1}{2}\left(y+\frac{4}{5}\right)$$

Adunați \frac{4}{5} cu y găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$10y^{2}+3y-4=10\times \frac{2y-1}{2}\times \frac{5y+4}{5}$$

Înmulțiți \frac{2y-1}{2} cu \frac{5y+4}{5} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$10y^{2}+3y-4=10\times \frac{\left(2y-1\right)\left(5y+4\right)}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$10y^{2}+3y-4=10\times \frac{\left(2y-1\right)\left(5y+4\right)}{10}$$

Simplificați cu 10, cel mai mare factor comun din 10 și 10.

$$10y^{2}+3y-4=\left(2y-1\right)\left(5y+4\right)$$

Evaluați

$$\left(2y-1\right)\left(5y+4\right)$$