Rezolvați 10n^2+53n+36

$$10 n ^ { 2 } + 53 n + 36$$

Descompunere în factori

$$\left(2n+9\right)\left(5n+4\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 10n^{2}+an+bn+36. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=53 ab=10\times 36=360$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 360.

$$1,360 2,180 3,120 4,90 5,72 6,60 8,45 9,40 10,36 12,30 15,24 18,20$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+360=361 2+180=182 3+120=123 4+90=94 5+72=77 6+60=66 8+45=53 9+40=49 10+36=46 12+30=42 15+24=39 18+20=38$$

Soluția este perechea care dă suma de 53.

$$a=8 b=45$$

Rescrieți 10n^{2}+53n+36 ca \left(10n^{2}+8n\right)+\left(45n+36\right).

$$\left(10n^{2}+8n\right)+\left(45n+36\right)$$

Factor 2n în primul și 9 în al doilea grup.

$$2n\left(5n+4\right)+9\left(5n+4\right)$$

Scoateți termenul comun 5n+4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5n+4\right)\left(2n+9\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$10n^{2}+53n+36=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$n=\frac{-53±\sqrt{53^{2}-4\times 10\times 36}}{2\times 10}$$

Ridicați 53 la pătrat.

$$n=\frac{-53±\sqrt{2809-4\times 10\times 36}}{2\times 10}$$

Înmulțiți -4 cu 10.

$$n=\frac{-53±\sqrt{2809-40\times 36}}{2\times 10}$$

Înmulțiți -40 cu 36.

$$n=\frac{-53±\sqrt{2809-1440}}{2\times 10}$$

Adunați 2809 cu -1440.

$$n=\frac{-53±\sqrt{1369}}{2\times 10}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1369.

$$n=\frac{-53±37}{2\times 10}$$

Înmulțiți 2 cu 10.

$$n=\frac{-53±37}{20}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-53±37}{20} atunci când ± este plus. Adunați -53 cu 37.

$$n=-\frac{16}{20}$$

Reduceți fracția \frac{-16}{20} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$n=-\frac{4}{5}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-53±37}{20} atunci când ± este minus. Scădeți 37 din -53.

$$n=-\frac{90}{20}$$

Reduceți fracția \frac{-90}{20} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$n=-\frac{9}{2}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{4}{5} și x_{2} cu -\frac{9}{2}.

$$10n^{2}+53n+36=10\left(n-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{9}{2}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$10n^{2}+53n+36=10\left(n+\frac{4}{5}\right)\left(n+\frac{9}{2}\right)$$

Adunați \frac{4}{5} cu n găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$10n^{2}+53n+36=10\times \frac{5n+4}{5}\left(n+\frac{9}{2}\right)$$

Adunați \frac{9}{2} cu n găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$10n^{2}+53n+36=10\times \frac{5n+4}{5}\times \frac{2n+9}{2}$$

Înmulțiți \frac{5n+4}{5} cu \frac{2n+9}{2} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$10n^{2}+53n+36=10\times \frac{\left(5n+4\right)\left(2n+9\right)}{5\times 2}$$

Înmulțiți 5 cu 2.

$$10n^{2}+53n+36=10\times \frac{\left(5n+4\right)\left(2n+9\right)}{10}$$

Simplificați cu 10, cel mai mare factor comun din 10 și 10.

$$10n^{2}+53n+36=\left(5n+4\right)\left(2n+9\right)$$

Evaluați

$$\left(2n+9\right)\left(5n+4\right)$$