Rezolvați 10c^2-19c-15

$$10 c ^ { 2 } - 19 c - 15$$

Descompunere în factori

$$\left(2c-5\right)\left(5c+3\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 10c^{2}+ac+bc-15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-19 ab=10\left(-15\right)=-150$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -150.

$$1,-150 2,-75 3,-50 5,-30 6,-25 10,-15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-150=-149 2-75=-73 3-50=-47 5-30=-25 6-25=-19 10-15=-5$$

Soluția este perechea care dă suma de -19.

$$a=-25 b=6$$

Rescrieți 10c^{2}-19c-15 ca \left(10c^{2}-25c\right)+\left(6c-15\right).

$$\left(10c^{2}-25c\right)+\left(6c-15\right)$$

Factor 5c în primul și 3 în al doilea grup.

$$5c\left(2c-5\right)+3\left(2c-5\right)$$

Scoateți termenul comun 2c-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2c-5\right)\left(5c+3\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$10c^{2}-19c-15=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$c=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 10\left(-15\right)}}{2\times 10}$$

Ridicați -19 la pătrat.

$$c=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 10\left(-15\right)}}{2\times 10}$$

Înmulțiți -4 cu 10.

$$c=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-40\left(-15\right)}}{2\times 10}$$

Înmulțiți -40 cu -15.

$$c=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+600}}{2\times 10}$$

Adunați 361 cu 600.

$$c=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{961}}{2\times 10}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 961.

$$c=\frac{-\left(-19\right)±31}{2\times 10}$$

Opusul lui -19 este 19.

$$c=\frac{19±31}{2\times 10}$$

Înmulțiți 2 cu 10.

$$c=\frac{19±31}{20}$$

Acum rezolvați ecuația c=\frac{19±31}{20} atunci când ± este plus. Adunați 19 cu 31.

$$c=\frac{50}{20}$$

Reduceți fracția \frac{50}{20} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$c=\frac{5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația c=\frac{19±31}{20} atunci când ± este minus. Scădeți 31 din 19.

$$c=-\frac{12}{20}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{20} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$c=-\frac{3}{5}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{5}{2} și x_{2} cu -\frac{3}{5}.

$$10c^{2}-19c-15=10\left(c-\frac{5}{2}\right)\left(c-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$10c^{2}-19c-15=10\left(c-\frac{5}{2}\right)\left(c+\frac{3}{5}\right)$$

Scădeți \frac{5}{2} din c găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$10c^{2}-19c-15=10\times \frac{2c-5}{2}\left(c+\frac{3}{5}\right)$$

Adunați \frac{3}{5} cu c găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$10c^{2}-19c-15=10\times \frac{2c-5}{2}\times \frac{5c+3}{5}$$

Înmulțiți \frac{2c-5}{2} cu \frac{5c+3}{5} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$10c^{2}-19c-15=10\times \frac{\left(2c-5\right)\left(5c+3\right)}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$10c^{2}-19c-15=10\times \frac{\left(2c-5\right)\left(5c+3\right)}{10}$$

Simplificați cu 10, cel mai mare factor comun din 10 și 10.

$$10c^{2}-19c-15=\left(2c-5\right)\left(5c+3\right)$$

Evaluați

$$\left(2c-5\right)\left(5c+3\right)$$