Rezolvați 0=-16t^2+48t-32

$$0 = - 16 t ^ { 2 } + 48 t - 32$$

Rezolvați pentru t

$$t=1$$

$$t=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Se împart ambele părți la 16.

$$-t^{2}+3t-2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -t^{2}+at+bt-2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=3 ab=-\left(-2\right)=2$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=2 b=1$$

Rescrieți -t^{2}+3t-2 ca \left(-t^{2}+2t\right)+\left(t-2\right).

$$\left(-t^{2}+2t\right)+\left(t-2\right)$$

Scoateți factorul comun -t din -t^{2}+2t.

$$-t\left(t-2\right)+t-2$$

Scoateți termenul comun t-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(t-2\right)\left(-t+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați t-2=0 și -t+1=0.

$$t=2 t=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -16, b cu 48 și c cu -32 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\left(-16\right)\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Ridicați 48 la pătrat.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304-4\left(-16\right)\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -16.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304+64\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți 64 cu -32.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304-2048}}{2\left(-16\right)}$$

Adunați 2304 cu -2048.

$$t=\frac{-48±\sqrt{256}}{2\left(-16\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 256.

$$t=\frac{-48±16}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -16.

$$t=\frac{-48±16}{-32}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-48±16}{-32} atunci când ± este plus. Adunați -48 cu 16.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Împărțiți -32 la -32.

$$t=1$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-48±16}{-32} atunci când ± este minus. Scădeți 16 din -48.

$$t=-\frac{64}{-32}$$

Împărțiți -64 la -32.

$$t=2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=1 t=2$$

Pași pentru completarea pătratului

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Adăugați 32 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$-16t^{2}+48t=32$$

Se împart ambele părți la -16.

$$\frac{-16t^{2}+48t}{-16}=\frac{32}{-16}$$

Împărțirea la -16 anulează înmulțirea cu -16.

$$t^{2}+\frac{48}{-16}t=\frac{32}{-16}$$

Împărțiți 48 la -16.

$$t^{2}-3t=\frac{32}{-16}$$

Împărțiți 32 la -16.

$$t^{2}-3t=-2$$

Împărțiți -3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Adunați -2 cu \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Factor t^{2}-3t+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplificați.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{1}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Adunați \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$t=2 t=1$$