Rezolvați -51t+49t^2=105

$$-51t+49 { t }^{ 2 } = 105$$

Rezolvați pentru t

$$t = \frac{\sqrt{23181} + 51}{98} \approx 2,074011008$$

$$t=\frac{51-\sqrt{23181}}{98}\approx -1,033194681$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$49t^{2}-51t=105$$

Scădeți 105 din ambele părți ale ecuației.

$$49t^{2}-51t-105=105-105$$

Scăderea 105 din el însuși are ca rezultat 0.

$$49t^{2}-51t-105=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 49, b cu -51 și c cu -105 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{\left(-51\right)^{2}-4\times 49\left(-105\right)}}{2\times 49}$$

Ridicați -51 la pătrat.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{2601-4\times 49\left(-105\right)}}{2\times 49}$$

Înmulțiți -4 cu 49.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{2601-196\left(-105\right)}}{2\times 49}$$

Înmulțiți -196 cu -105.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{2601+20580}}{2\times 49}$$

Adunați 2601 cu 20580.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{23181}}{2\times 49}$$

Opusul lui -51 este 51.

$$t=\frac{51±\sqrt{23181}}{2\times 49}$$

Înmulțiți 2 cu 49.

$$t=\frac{51±\sqrt{23181}}{98}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{51±\sqrt{23181}}{98} atunci când ± este plus. Adunați 51 cu \sqrt{23181}.

$$t=\frac{\sqrt{23181}+51}{98}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{51±\sqrt{23181}}{98} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{23181} din 51.

$$t=\frac{51-\sqrt{23181}}{98}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=\frac{\sqrt{23181}+51}{98} t=\frac{51-\sqrt{23181}}{98}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$49t^{2}-51t=105$$

Se împart ambele părți la 49.

$$\frac{49t^{2}-51t}{49}=\frac{105}{49}$$

Împărțirea la 49 anulează înmulțirea cu 49.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t=\frac{105}{49}$$

Reduceți fracția \frac{105}{49} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 7.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t=\frac{15}{7}$$

Împărțiți -\frac{51}{49}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{51}{98}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{51}{98} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t+\left(-\frac{51}{98}\right)^{2}=\frac{15}{7}+\left(-\frac{51}{98}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{51}{98} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t+\frac{2601}{9604}=\frac{15}{7}+\frac{2601}{9604}$$

Adunați \frac{15}{7} cu \frac{2601}{9604} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t+\frac{2601}{9604}=\frac{23181}{9604}$$

Factor t^{2}-\frac{51}{49}t+\frac{2601}{9604}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{51}{98}\right)^{2}=\frac{23181}{9604}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t-\frac{51}{98}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{23181}{9604}}$$

Simplificați.

$$t-\frac{51}{98}=\frac{\sqrt{23181}}{98} t-\frac{51}{98}=-\frac{\sqrt{23181}}{98}$$

Adunați \frac{51}{98} la ambele părți ale ecuației.

$$t=\frac{\sqrt{23181}+51}{98} t=\frac{51-\sqrt{23181}}{98}$$