Rezolvați -49x^2+307x+248=0

$$-49 { x }^{ 2 } +307x+248=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{3 \sqrt{15873} + 307}{98} \approx 6,98943147$$

$$x=\frac{307-3\sqrt{15873}}{98}\approx -0,724125347$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-49x^{2}+307x+248=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -49, b cu 307 și c cu 248 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-307±\sqrt{307^{2}-4\left(-49\right)\times 248}}{2\left(-49\right)}$$

Ridicați 307 la pătrat.

$$x=\frac{-307±\sqrt{94249-4\left(-49\right)\times 248}}{2\left(-49\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -49.

$$x=\frac{-307±\sqrt{94249+196\times 248}}{2\left(-49\right)}$$

Înmulțiți 196 cu 248.

$$x=\frac{-307±\sqrt{94249+48608}}{2\left(-49\right)}$$

Adunați 94249 cu 48608.

$$x=\frac{-307±\sqrt{142857}}{2\left(-49\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 142857.

$$x=\frac{-307±3\sqrt{15873}}{2\left(-49\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -49.

$$x=\frac{-307±3\sqrt{15873}}{-98}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-307±3\sqrt{15873}}{-98} atunci când ± este plus. Adunați -307 cu 3\sqrt{15873}.

$$x=\frac{3\sqrt{15873}-307}{-98}$$

Împărțiți -307+3\sqrt{15873} la -98.

$$x=\frac{307-3\sqrt{15873}}{98}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-307±3\sqrt{15873}}{-98} atunci când ± este minus. Scădeți 3\sqrt{15873} din -307.

$$x=\frac{-3\sqrt{15873}-307}{-98}$$

Împărțiți -307-3\sqrt{15873} la -98.

$$x=\frac{3\sqrt{15873}+307}{98}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{307-3\sqrt{15873}}{98} x=\frac{3\sqrt{15873}+307}{98}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-49x^{2}+307x+248=0$$

Scădeți 248 din ambele părți ale ecuației.

$$-49x^{2}+307x+248-248=-248$$

Scăderea 248 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-49x^{2}+307x=-248$$

Se împart ambele părți la -49.

$$\frac{-49x^{2}+307x}{-49}=-\frac{248}{-49}$$

Împărțirea la -49 anulează înmulțirea cu -49.

$$x^{2}+\frac{307}{-49}x=-\frac{248}{-49}$$

Împărțiți 307 la -49.

$$x^{2}-\frac{307}{49}x=-\frac{248}{-49}$$

Împărțiți -248 la -49.

$$x^{2}-\frac{307}{49}x=\frac{248}{49}$$

Împărțiți -\frac{307}{49}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{307}{98}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{307}{98} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{307}{49}x+\left(-\frac{307}{98}\right)^{2}=\frac{248}{49}+\left(-\frac{307}{98}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{307}{98} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{307}{49}x+\frac{94249}{9604}=\frac{248}{49}+\frac{94249}{9604}$$

Adunați \frac{248}{49} cu \frac{94249}{9604} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{307}{49}x+\frac{94249}{9604}=\frac{142857}{9604}$$

Factor x^{2}-\frac{307}{49}x+\frac{94249}{9604}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{307}{98}\right)^{2}=\frac{142857}{9604}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{307}{98}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{142857}{9604}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{307}{98}=\frac{3\sqrt{15873}}{98} x-\frac{307}{98}=-\frac{3\sqrt{15873}}{98}$$

Adunați \frac{307}{98} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3\sqrt{15873}+307}{98} x=\frac{307-3\sqrt{15873}}{98}$$