Rezolvați -3x^2-2x+5=0

$$-3 { x }^{ 2 } -2x+5 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -3x^{2}+ax+bx+5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-2 ab=-3\times 5=-15$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -15.

$$1,-15 3,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -2.

$$a=3 b=-5$$

Rescrieți -3x^{2}-2x+5 ca \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-5x+5\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-5x+5\right)$$

Factor 3x în primul și 5 în al doilea grup.

$$3x\left(-x+1\right)+5\left(-x+1\right)$$

Scoateți termenul comun -x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+1=0 și 3x+5=0.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-3x^{2}-2x+5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu -2 și c cu 5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+60}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 4 cu 60.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{64}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 64.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±8}{2\left(-3\right)}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±8}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{2±8}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±8}{-6} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 8.

$$x=\frac{10}{-6}$$

Reduceți fracția \frac{10}{-6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±8}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 8 din 2.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Împărțiți -6 la -6.

$$x=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{5}{3} x=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-2x+5=0$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$-3x^{2}-2x+5-5=-5$$

Scăderea 5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-3x^{2}-2x=-5$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}-2x}{-3}=-\frac{5}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-3}\right)x=-\frac{5}{-3}$$

Împărțiți -2 la -3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{5}{-3}$$

Împărțiți -5 la -3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{5}{3}$$

Împărțiți \frac{2}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{5}{3}+\frac{1}{9}$$

Adunați \frac{5}{3} cu \frac{1}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{4}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}$$

Scădeți \frac{1}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$