Rezolvați -2x^2+x-3=0

$$-2 { x }^{ 2 } +x-3=0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{4}\approx 0,25-1,198957881i$$

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{4}\approx 0,25+1,198957881i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-2x^{2}+x-3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -2, b cu 1 și c cu -3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 8 cu -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24}}{2\left(-2\right)}$$

Adunați 1 cu -24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-23}}{2\left(-2\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -23.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{-4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{-4} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{-4}$$

Împărțiți -1+i\sqrt{23} la -4.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{-4} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{23} din -1.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{-4}$$

Împărțiți -1-i\sqrt{23} la -4.

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{4} x=\frac{1+\sqrt{23}i}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+x-3=0$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$-2x^{2}+x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Scăderea -3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-2x^{2}+x=-\left(-3\right)$$

Scădeți -3 din 0.

$$-2x^{2}+x=3$$

Se împart ambele părți la -2.

$$\frac{-2x^{2}+x}{-2}=\frac{3}{-2}$$

Împărțirea la -2 anulează înmulțirea cu -2.

$$x^{2}+\frac{1}{-2}x=\frac{3}{-2}$$

Împărțiți 1 la -2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{3}{-2}$$

Împărțiți 3 la -2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Împărțiți -\frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{1}{16}$$

Adunați -\frac{3}{2} cu \frac{1}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{23}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Adunați \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{4}$$