Rezolvați -110=37587x+-491x^2

$$-110 = 37587x+-491 { x }^{ 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{1412998609} + 37587}{982} \approx 76,554861259$$

$$x=\frac{37587-\sqrt{1412998609}}{982}\approx -0,002926432$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$37587x-491x^{2}=-110$$

Adăugați 110 la ambele părți.

$$37587x-491x^{2}+110=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-491x^{2}+37587x+110=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -491, b cu 37587 și c cu 110 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-37587±\sqrt{37587^{2}-4\left(-491\right)\times 110}}{2\left(-491\right)}$$

Ridicați 37587 la pătrat.

$$x=\frac{-37587±\sqrt{1412782569-4\left(-491\right)\times 110}}{2\left(-491\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -491.

$$x=\frac{-37587±\sqrt{1412782569+1964\times 110}}{2\left(-491\right)}$$

Înmulțiți 1964 cu 110.

$$x=\frac{-37587±\sqrt{1412782569+216040}}{2\left(-491\right)}$$

Adunați 1412782569 cu 216040.

$$x=\frac{-37587±\sqrt{1412998609}}{2\left(-491\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -491.

$$x=\frac{-37587±\sqrt{1412998609}}{-982}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-37587±\sqrt{1412998609}}{-982} atunci când ± este plus. Adunați -37587 cu \sqrt{1412998609}.

$$x=\frac{\sqrt{1412998609}-37587}{-982}$$

Împărțiți -37587+\sqrt{1412998609} la -982.

$$x=\frac{37587-\sqrt{1412998609}}{982}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-37587±\sqrt{1412998609}}{-982} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{1412998609} din -37587.

$$x=\frac{-\sqrt{1412998609}-37587}{-982}$$

Împărțiți -37587-\sqrt{1412998609} la -982.

$$x=\frac{\sqrt{1412998609}+37587}{982}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{37587-\sqrt{1412998609}}{982} x=\frac{\sqrt{1412998609}+37587}{982}$$

Pași pentru completarea pătratului

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$37587x-491x^{2}=-110$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-491x^{2}+37587x=-110$$

Se împart ambele părți la -491.

$$\frac{-491x^{2}+37587x}{-491}=-\frac{110}{-491}$$

Împărțirea la -491 anulează înmulțirea cu -491.

$$x^{2}+\frac{37587}{-491}x=-\frac{110}{-491}$$

Împărțiți 37587 la -491.

$$x^{2}-\frac{37587}{491}x=-\frac{110}{-491}$$

Împărțiți -110 la -491.

$$x^{2}-\frac{37587}{491}x=\frac{110}{491}$$

Împărțiți -\frac{37587}{491}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{37587}{982}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{37587}{982} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{37587}{491}x+\left(-\frac{37587}{982}\right)^{2}=\frac{110}{491}+\left(-\frac{37587}{982}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{37587}{982} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{37587}{491}x+\frac{1412782569}{964324}=\frac{110}{491}+\frac{1412782569}{964324}$$

Adunați \frac{110}{491} cu \frac{1412782569}{964324} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{37587}{491}x+\frac{1412782569}{964324}=\frac{1412998609}{964324}$$

Factor x^{2}-\frac{37587}{491}x+\frac{1412782569}{964324}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{37587}{982}\right)^{2}=\frac{1412998609}{964324}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{37587}{982}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1412998609}{964324}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{37587}{982}=\frac{\sqrt{1412998609}}{982} x-\frac{37587}{982}=-\frac{\sqrt{1412998609}}{982}$$

Adunați \frac{37587}{982} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{1412998609}+37587}{982} x=\frac{37587-\sqrt{1412998609}}{982}$$