Rezolvați -y^2+6y+7=0

$$- y ^ { 2 } + 6 y + 7 = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y=-1$$

$$y=7$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -y^{2}+ay+by+7. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=7 b=-1$$

Rescrieți -y^{2}+6y+7 ca \left(-y^{2}+7y\right)+\left(-y+7\right).

$$\left(-y^{2}+7y\right)+\left(-y+7\right)$$

Factor -y în primul și -1 în al doilea grup.

$$-y\left(y-7\right)-\left(y-7\right)$$

Scoateți termenul comun y-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(y-7\right)\left(-y-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați y-7=0 și -y-1=0.

$$y=7 y=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-y^{2}+6y+7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 6 și c cu 7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 6 la pătrat.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 7.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 36 cu 28.

$$y=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 64.

$$y=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$y=\frac{-6±8}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-6±8}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -6 cu 8.

$$y=\frac{2}{-2}$$

Împărțiți 2 la -2.

$$y=-1$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-6±8}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 8 din -6.

$$y=-\frac{14}{-2}$$

Împărțiți -14 la -2.

$$y=7$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=-1 y=7$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+6y+7=0$$

Scădeți 7 din ambele părți ale ecuației.

$$-y^{2}+6y+7-7=-7$$

Scăderea 7 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-y^{2}+6y=-7$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-y^{2}+6y}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$y^{2}+\frac{6}{-1}y=-\frac{7}{-1}$$

Împărțiți 6 la -1.

$$y^{2}-6y=-\frac{7}{-1}$$

Împărțiți -7 la -1.

$$y^{2}-6y=7$$

Împărțiți -6, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -3. Apoi, adunați pătratul lui -3 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-6y+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$y^{2}-6y+9=7+9$$

Adunați 7 cu 9.

$$y^{2}-6y+9=16$$

Factor y^{2}-6y+9. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-3\right)^{2}=16$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Simplificați.

$$y-3=4 y-3=-4$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$y=7 y=-1$$