Rezolvați -7x^2+5x-4=0

$$- 7 x ^ { 2 } + 5 x - 4 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14}\approx 0,357142857-0,666241361i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14}\approx 0,357142857+0,666241361i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-7x^{2}+5x-4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -7, b cu 5 și c cu -4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-7\right)\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-7\right)\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+28\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Înmulțiți 28 cu -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-112}}{2\left(-7\right)}$$

Adunați 25 cu -112.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-87}}{2\left(-7\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -87.

$$x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{2\left(-7\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{-14}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{-14} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu i\sqrt{87}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{87}i}{-14}$$

Împărțiți -5+i\sqrt{87} la -14.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{-14} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{87} din -5.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-5}{-14}$$

Împărțiți -5-i\sqrt{87} la -14.

$$x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14} x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-7x^{2}+5x-4=0$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$-7x^{2}+5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Scăderea -4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-7x^{2}+5x=-\left(-4\right)$$

Scădeți -4 din 0.

$$-7x^{2}+5x=4$$

Se împart ambele părți la -7.

$$\frac{-7x^{2}+5x}{-7}=\frac{4}{-7}$$

Împărțirea la -7 anulează înmulțirea cu -7.

$$x^{2}+\frac{5}{-7}x=\frac{4}{-7}$$

Împărțiți 5 la -7.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x=\frac{4}{-7}$$

Împărțiți 4 la -7.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x=-\frac{4}{7}$$

Împărțiți -\frac{5}{7}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{14}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{14} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\left(-\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{4}{7}+\left(-\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{14} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{4}{7}+\frac{25}{196}$$

Adunați -\frac{4}{7} cu \frac{25}{196} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{87}{196}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{87}{196}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{196}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{14}=\frac{\sqrt{87}i}{14} x-\frac{5}{14}=-\frac{\sqrt{87}i}{14}$$

Adunați \frac{5}{14} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14} x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14}$$