Rezolvați -49t^2+100t-510204=0

$$- 49 t ^ { 2 } + 100 t - 510204 = 0$$

Rezolvați pentru t

$$t=\frac{-2\sqrt{6249374}i+50}{49}\approx 1,020408163-102,035705994i$$

$$t=\frac{50+2\sqrt{6249374}i}{49}\approx 1,020408163+102,035705994i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-49t^{2}+100t-510204=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -49, b cu 100 și c cu -510204 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-49\right)\left(-510204\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Ridicați 100 la pătrat.

$$t=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-49\right)\left(-510204\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -49.

$$t=\frac{-100±\sqrt{10000+196\left(-510204\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Înmulțiți 196 cu -510204.

$$t=\frac{-100±\sqrt{10000-99999984}}{2\left(-49\right)}$$

Adunați 10000 cu -99999984.

$$t=\frac{-100±\sqrt{-99989984}}{2\left(-49\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -99989984.

$$t=\frac{-100±4\sqrt{6249374}i}{2\left(-49\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -49.

$$t=\frac{-100±4\sqrt{6249374}i}{-98}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-100±4\sqrt{6249374}i}{-98} atunci când ± este plus. Adunați -100 cu 4i\sqrt{6249374}.

$$t=\frac{-100+4\sqrt{6249374}i}{-98}$$

Împărțiți -100+4i\sqrt{6249374} la -98.

$$t=\frac{-2\sqrt{6249374}i+50}{49}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-100±4\sqrt{6249374}i}{-98} atunci când ± este minus. Scădeți 4i\sqrt{6249374} din -100.

$$t=\frac{-4\sqrt{6249374}i-100}{-98}$$

Împărțiți -100-4i\sqrt{6249374} la -98.

$$t=\frac{50+2\sqrt{6249374}i}{49}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=\frac{-2\sqrt{6249374}i+50}{49} t=\frac{50+2\sqrt{6249374}i}{49}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-49t^{2}+100t-510204=0$$

Adunați 510204 la ambele părți ale ecuației.

$$-49t^{2}+100t-510204-\left(-510204\right)=-\left(-510204\right)$$

Scăderea -510204 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-49t^{2}+100t=-\left(-510204\right)$$

Scădeți -510204 din 0.

$$-49t^{2}+100t=510204$$

Se împart ambele părți la -49.

$$\frac{-49t^{2}+100t}{-49}=\frac{510204}{-49}$$

Împărțirea la -49 anulează înmulțirea cu -49.

$$t^{2}+\frac{100}{-49}t=\frac{510204}{-49}$$

Împărțiți 100 la -49.

$$t^{2}-\frac{100}{49}t=\frac{510204}{-49}$$

Împărțiți 510204 la -49.

$$t^{2}-\frac{100}{49}t=-\frac{510204}{49}$$

Împărțiți -\frac{100}{49}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{50}{49}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{50}{49} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}-\frac{100}{49}t+\left(-\frac{50}{49}\right)^{2}=-\frac{510204}{49}+\left(-\frac{50}{49}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{50}{49} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}-\frac{100}{49}t+\frac{2500}{2401}=-\frac{510204}{49}+\frac{2500}{2401}$$

Adunați -\frac{510204}{49} cu \frac{2500}{2401} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$t^{2}-\frac{100}{49}t+\frac{2500}{2401}=-\frac{24997496}{2401}$$

Factor t^{2}-\frac{100}{49}t+\frac{2500}{2401}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{50}{49}\right)^{2}=-\frac{24997496}{2401}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t-\frac{50}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{24997496}{2401}}$$

Simplificați.

$$t-\frac{50}{49}=\frac{2\sqrt{6249374}i}{49} t-\frac{50}{49}=-\frac{2\sqrt{6249374}i}{49}$$

Adunați \frac{50}{49} la ambele părți ale ecuației.

$$t=\frac{50+2\sqrt{6249374}i}{49} t=\frac{-2\sqrt{6249374}i+50}{49}$$